Theorem iblsplitf 45258

Description: A version of iblsplit 45254 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions". (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblsplitf.X	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iblsplitf.vol	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
iblsplitf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
iblsplitf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
iblsplitf.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
iblsplitf.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
iblsplitf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem iblsplitf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2897	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
2		nfcsb1v 3913	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
3		csbeq1a 3902	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 5252	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
5		iblsplitf.vol	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
6		iblsplitf.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
8		iblsplitf.X	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
9		nfv 1909	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑈
10	8, 9	nfan 1894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)
11		iblsplitf.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝐶 ∈ ℂ))
14	10, 13	ralrimi 3248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝐶 ∈ ℂ)
15		rspcsbela 4430	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝐶 ∈ ℂ) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
16	7, 14, 15	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
17	3	equcoms 2015	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
18	17	eqcomd 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
19	2, 1, 18	cbvmpt 5252	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
20		iblsplitf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
21	19, 20	eqeltrid 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ∈ 𝐿1)
22	2, 1, 18	cbvmpt 5252	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
23		iblsplitf.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
24	22, 23	eqeltrid 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ∈ 𝐿1)
25	5, 6, 16, 21, 24	iblsplit 45254	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ∈ 𝐿1)
26	4, 25	eqeltrid 2831	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ⦋csb 3888   ∪ cun 3941   ∩ cin 3942   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  ℂcc 11110  0cc0 11112  vol*covol 25346  𝐿¹cibl 25501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506

This theorem is referenced by:  iblspltprt  45261