Theorem iblsplitf 43023

Description: A version of iblsplit 43019 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions". (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblsplitf.X	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iblsplitf.vol	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
iblsplitf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
iblsplitf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
iblsplitf.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
iblsplitf.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
iblsplitf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem iblsplitf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2919	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
2		nfcsb1v 3831	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
3		csbeq1a 3821	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 5137	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
5		iblsplitf.vol	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
6		iblsplitf.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
7		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
8		iblsplitf.X	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
9		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑈
10	8, 9	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)
11		iblsplitf.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝐶 ∈ ℂ))
14	10, 13	ralrimi 3144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝐶 ∈ ℂ)
15		rspcsbela 4335	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝐶 ∈ ℂ) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
16	7, 14, 15	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
17	3	equcoms 2027	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
18	17	eqcomd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
19	2, 1, 18	cbvmpt 5137	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
20		iblsplitf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
21	19, 20	eqeltrid 2856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ∈ 𝐿1)
22	2, 1, 18	cbvmpt 5137	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
23		iblsplitf.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
24	22, 23	eqeltrid 2856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ∈ 𝐿1)
25	5, 6, 16, 21, 24	iblsplit 43019	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ∈ 𝐿1)
26	4, 25	eqeltrid 2856	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ⦋csb 3807   ∪ cun 3858   ∩ cin 3859   ↦ cmpt 5116  ‘cfv 6340  ℂcc 10586  0cc0 10588  vol*covol 24176  𝐿¹cibl 24331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-disj 5002  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-dju 9376  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-sum 15104  df-rest 16768  df-topgen 16789  df-psmet 20172  df-xmet 20173  df-met 20174  df-bl 20175  df-mopn 20176  df-top 21608  df-topon 21625  df-bases 21660  df-cmp 22101  df-ovol 24178  df-vol 24179  df-mbf 24333  df-itg1 24334  df-itg2 24335  df-ibl 24336

This theorem is referenced by:  iblspltprt  43026