Theorem iblsplitf 45627

Description: A version of iblsplit 45623 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions". (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblsplitf.X	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iblsplitf.vol	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
iblsplitf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
iblsplitf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
iblsplitf.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
iblsplitf.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
iblsplitf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem iblsplitf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2892	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
2		nfcsb1v 3916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
3		csbeq1a 3905	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 5256	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
5		iblsplitf.vol	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
6		iblsplitf.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
7		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
8		iblsplitf.X	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
9		nfv 1910	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑈
10	8, 9	nfan 1895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)
11		iblsplitf.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝐶 ∈ ℂ))
14	10, 13	ralrimi 3245	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝐶 ∈ ℂ)
15		rspcsbela 4432	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝐶 ∈ ℂ) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
16	7, 14, 15	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
17	3	equcoms 2016	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
18	17	eqcomd 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
19	2, 1, 18	cbvmpt 5256	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
20		iblsplitf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
21	19, 20	eqeltrid 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ∈ 𝐿1)
22	2, 1, 18	cbvmpt 5256	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
23		iblsplitf.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
24	22, 23	eqeltrid 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ∈ 𝐿1)
25	5, 6, 16, 21, 24	iblsplit 45623	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ∈ 𝐿1)
26	4, 25	eqeltrid 2830	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ⦋csb 3891   ∪ cun 3944   ∩ cin 3945   ↦ cmpt 5228  ‘cfv 6546  ℂcc 11147  0cc0 11149  vol*covol 25479  𝐿¹cibl 25634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-disj 5111  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-sum 15686  df-rest 17432  df-topgen 17453  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-top 22884  df-topon 22901  df-bases 22937  df-cmp 23379  df-ovol 25481  df-vol 25482  df-mbf 25636  df-itg1 25637  df-itg2 25638  df-ibl 25639

This theorem is referenced by:  iblspltprt  45630