Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblsplitf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblsplitf 45258
Description: A version of iblsplit 45254 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions". (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblsplitf.X 𝑥𝜑
iblsplitf.vol (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
iblsplitf.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
iblsplitf.c ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
iblsplitf.a (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
iblsplitf.b (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblsplitf (𝜑 → (𝑥𝑈𝐶) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem iblsplitf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2897 . . 3 𝑦𝐶
2 nfcsb1v 3913 . . 3 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
3 csbeq1a 3902 . . 3 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
41, 2, 3cbvmpt 5252 . 2 (𝑥𝑈𝐶) = (𝑦𝑈𝑦 / 𝑥𝐶)
5 iblsplitf.vol . . 3 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
6 iblsplitf.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
7 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑦𝑈)
8 iblsplitf.X . . . . . 6 𝑥𝜑
9 nfv 1909 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝑈
108, 9nfan 1894 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑦𝑈)
11 iblsplitf.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
1211adantlr 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑈) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
1312ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑈) → (𝑥𝑈𝐶 ∈ ℂ))
1410, 13ralrimi 3248 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑈) → ∀𝑥𝑈 𝐶 ∈ ℂ)
15 rspcsbela 4430 . . . 4 ((𝑦𝑈 ∧ ∀𝑥𝑈 𝐶 ∈ ℂ) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
167, 14, 15syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
173equcoms 2015 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
1817eqcomd 2732 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶)
192, 1, 18cbvmpt 5252 . . . 4 (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
20 iblsplitf.a . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
2119, 20eqeltrid 2831 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶) ∈ 𝐿1)
222, 1, 18cbvmpt 5252 . . . 4 (𝑦𝐵𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝐵𝐶)
23 iblsplitf.b . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
2422, 23eqeltrid 2831 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 / 𝑥𝐶) ∈ 𝐿1)
255, 6, 16, 21, 24iblsplit 45254 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑈𝑦 / 𝑥𝐶) ∈ 𝐿1)
264, 25eqeltrid 2831 1 (𝜑 → (𝑥𝑈𝐶) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wral 3055  csb 3888  cun 3941  cin 3942  cmpt 5224  cfv 6537  cc 11110  0cc0 11112  vol*covol 25346  𝐿1cibl 25501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506
This theorem is referenced by:  iblspltprt  45261
  Copyright terms: Public domain W3C validator