Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblsplitf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblsplitf 41796
 Description: A version of iblsplit 41792 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions" (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iblsplitf.X 𝑥𝜑
iblsplitf.vol (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
iblsplitf.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
iblsplitf.c ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
iblsplitf.a (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
iblsplitf.b (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblsplitf (𝜑 → (𝑥𝑈𝐶) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem iblsplitf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2949 . . 3 𝑦𝐶
2 nfcsb1v 3833 . . 3 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
3 csbeq1a 3824 . . 3 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
41, 2, 3cbvmpt 5060 . 2 (𝑥𝑈𝐶) = (𝑦𝑈𝑦 / 𝑥𝐶)
5 iblsplitf.vol . . 3 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
6 iblsplitf.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
7 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑦𝑈)
8 iblsplitf.X . . . . . 6 𝑥𝜑
9 nfv 1892 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝑈
108, 9nfan 1881 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑦𝑈)
11 iblsplitf.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
1211adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑈) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
1312ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑈) → (𝑥𝑈𝐶 ∈ ℂ))
1410, 13ralrimi 3183 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑈) → ∀𝑥𝑈 𝐶 ∈ ℂ)
15 rspcsbela 4302 . . . 4 ((𝑦𝑈 ∧ ∀𝑥𝑈 𝐶 ∈ ℂ) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
167, 14, 15syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑦𝑈) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
173equcoms 2004 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
1817eqcomd 2801 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐶)
192, 1, 18cbvmpt 5060 . . . 4 (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
20 iblsplitf.a . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
2119, 20syl5eqel 2887 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶) ∈ 𝐿1)
222, 1, 18cbvmpt 5060 . . . 4 (𝑦𝐵𝑦 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝐵𝐶)
23 iblsplitf.b . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
2422, 23syl5eqel 2887 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 / 𝑥𝐶) ∈ 𝐿1)
255, 6, 16, 21, 24iblsplit 41792 . 2 (𝜑 → (𝑦𝑈𝑦 / 𝑥𝐶) ∈ 𝐿1)
264, 25syl5eqel 2887 1 (𝜑 → (𝑥𝑈𝐶) ∈ 𝐿1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522  Ⅎwnf 1765   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  ⦋csb 3811   ∪ cun 3857   ∩ cin 3858   ↦ cmpt 5041  ‘cfv 6225  ℂcc 10381  0cc0 10383  vol*covol 23746  𝐿1cibl 23901 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-disj 4931  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-ofr 7268  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-rest 16525  df-topgen 16546  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-cmp 21679  df-ovol 23748  df-vol 23749  df-mbf 23903  df-itg1 23904  df-itg2 23905  df-ibl 23906 This theorem is referenced by:  iblspltprt  41799
 Copyright terms: Public domain W3C validator