Theorem iblsplitf 45952

Description: A version of iblsplit 45948 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions". (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblsplitf.X	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iblsplitf.vol	⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
iblsplitf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
iblsplitf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
iblsplitf.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
iblsplitf.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
iblsplitf	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem iblsplitf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝐶
2		nfcsb1v 3877	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
3		csbeq1a 3867	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
4	1, 2, 3	cbvmpt 5197	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
5		iblsplitf.vol	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = 0)
6		iblsplitf.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝑈)
8		iblsplitf.X	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
9		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑈
10	8, 9	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)
11		iblsplitf.c	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝐶 ∈ ℂ))
14	10, 13	ralrimi 3227	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝐶 ∈ ℂ)
15		rspcsbela 4391	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝐶 ∈ ℂ) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
16	7, 14, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ ℂ)
17	3	equcoms 2020	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
18	17	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
19	2, 1, 18	cbvmpt 5197	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
20		iblsplitf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
21	19, 20	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ∈ 𝐿1)
22	2, 1, 18	cbvmpt 5197	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
23		iblsplitf.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
24	22, 23	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ∈ 𝐿1)
25	5, 6, 16, 21, 24	iblsplit 45948	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶) ∈ 𝐿1)
26	4, 25	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ⦋csb 3853   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  ℂcc 11026  0cc0 11028  vol*covol 25379  𝐿¹cibl 25534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22797  df-topon 22814  df-bases 22849  df-cmp 23290  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536  df-itg1 25537  df-itg2 25538  df-ibl 25539

This theorem is referenced by:  iblspltprt  45955