Theorem ig1pval2 26456

Description: Generator of the zero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pval2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ig1pval2	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐺‘{ 0 }) = 0 )

Proof of Theorem ig1pval2

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ig1pval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22526	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
4		ig1pval2.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
5	3, 4	lidl0 21471	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃))
6	2, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃))
7		ig1pval.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
10	1, 7, 4, 3, 8, 9	ig1pval 26455	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃)) → (𝐺‘{ 0 }) = if({ 0 } = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ ({ 0 } ∩ (Monic1p‘𝑅))((deg1‘𝑅)‘𝑔) = inf(((deg1‘𝑅) “ ({ 0 } ∖ { 0 })), ℝ, < ))))
11	6, 10	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐺‘{ 0 }) = if({ 0 } = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ ({ 0 } ∩ (Monic1p‘𝑅))((deg1‘𝑅)‘𝑔) = inf(((deg1‘𝑅) “ ({ 0 } ∖ { 0 })), ℝ, < ))))
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ { 0 } = { 0 }
13	12	iftruei 4488	. 2 ⊢ if({ 0 } = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ ({ 0 } ∩ (Monic1p‘𝑅))((deg1‘𝑅)‘𝑔) = inf(((deg1‘𝑅) “ ({ 0 } ∖ { 0 })), ℝ, < ))) = 0
14	11, 13	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐺‘{ 0 }) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3895   ∩ cin 3897  ifcif 4481  {csn 4583   “ cima 5650  ‘cfv 6527  ℩crio 7364  infcinf 9411  ℝcr 11170   < clt 11314  0_gc0g 17571  Ringcrg 20420  LIdealclidl 21445  Poly₁cpl1 22456  deg₁cdg1 26333  Monic_1pcmn1 26405  idlGen_1pcig1p 26409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-lss 21168  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-lidl 21447  df-psr 22178  df-mpl 22180  df-opsr 22182  df-psr1 22459  df-ply1 22461  df-ig1p 26414

This theorem is used by:  ig1pcl  26458