Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1pval2 24752
 Description: Generator of the zero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
ig1pval2.z 0 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
ig1pval2 (𝑅 ∈ Ring → (𝐺‘{ 0 }) = 0 )

Proof of Theorem ig1pval2
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pval.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 20391 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3 eqid 2821 . . . . 5 (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
4 ig1pval2.z . . . . 5 0 = (0g𝑃)
53, 4lidl0 19967 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃))
62, 5syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃))
7 ig1pval.g . . . 4 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
8 eqid 2821 . . . 4 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
9 eqid 2821 . . . 4 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
101, 7, 4, 3, 8, 9ig1pval 24751 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑃)) → (𝐺‘{ 0 }) = if({ 0 } = { 0 }, 0 , (𝑔 ∈ ({ 0 } ∩ (Monic1p𝑅))(( deg1𝑅)‘𝑔) = inf((( deg1𝑅) “ ({ 0 } ∖ { 0 })), ℝ, < ))))
116, 10mpdan 686 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝐺‘{ 0 }) = if({ 0 } = { 0 }, 0 , (𝑔 ∈ ({ 0 } ∩ (Monic1p𝑅))(( deg1𝑅)‘𝑔) = inf((( deg1𝑅) “ ({ 0 } ∖ { 0 })), ℝ, < ))))
12 eqid 2821 . . 3 { 0 } = { 0 }
1312iftruei 4447 . 2 if({ 0 } = { 0 }, 0 , (𝑔 ∈ ({ 0 } ∩ (Monic1p𝑅))(( deg1𝑅)‘𝑔) = inf((( deg1𝑅) “ ({ 0 } ∖ { 0 })), ℝ, < ))) = 0
1411, 13syl6eq 2872 1 (𝑅 ∈ Ring → (𝐺‘{ 0 }) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∖ cdif 3907   ∩ cin 3909  ifcif 4440  {csn 4540   “ cima 5531  ‘cfv 6328  ℩crio 7087  infcinf 8881  ℝcr 10513   < clt 10652  0gc0g 16691  Ringcrg 19275  LIdealclidl 19917  Poly1cpl1 20320   deg1 cdg1 24633  Monic1pcmn1 24704  idlGen1pcig1p 24708 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-ofr 7385  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-hash 13675  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-mhm 17934  df-submnd 17935  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-mulg 18203  df-subg 18254  df-ghm 18334  df-cntz 18425  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-subrg 19508  df-lmod 19611  df-lss 19679  df-sra 19919  df-rgmod 19920  df-lidl 19921  df-psr 20111  df-mpl 20113  df-opsr 20115  df-psr1 20323  df-ply1 20325  df-ig1p 24713 This theorem is referenced by:  ig1pcl  24754
 Copyright terms: Public domain W3C validator