MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ig1pval2 25927
Description: Generator of the zero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1pβ€˜π‘…)
ig1pval2.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
ig1pval2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (πΊβ€˜{ 0 }) = 0 )
Proof of Theorem ig1pval2
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pval.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1ring 21991 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
3 eqid 2731 . . . . 5 (LIdealβ€˜π‘ƒ) = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
4 ig1pval2.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
53, 4lidl0 20994 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
62, 5syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ))
7 ig1pval.g . . . 4 𝐺 = (idlGen1pβ€˜π‘…)
8 eqid 2731 . . . 4 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
9 eqid 2731 . . . 4 (Monic1pβ€˜π‘…) = (Monic1pβ€˜π‘…)
101, 7, 4, 3, 8, 9ig1pval 25926 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘ƒ)) β†’ (πΊβ€˜{ 0 }) = if({ 0 } = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ ({ 0 } ∩ (Monic1pβ€˜π‘…))(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) = inf((( deg1 β€˜π‘…) β€œ ({ 0 } βˆ– { 0 })), ℝ, < ))))
116, 10mpdan 684 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (πΊβ€˜{ 0 }) = if({ 0 } = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ ({ 0 } ∩ (Monic1pβ€˜π‘…))(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) = inf((( deg1 β€˜π‘…) β€œ ({ 0 } βˆ– { 0 })), ℝ, < ))))
12 eqid 2731 . . 3 { 0 } = { 0 }
1312iftruei 4535 . 2 if({ 0 } = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ ({ 0 } ∩ (Monic1pβ€˜π‘…))(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘”) = inf((( deg1 β€˜π‘…) β€œ ({ 0 } βˆ– { 0 })), ℝ, < ))) = 0
1411, 13eqtrdi 2787 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ (πΊβ€˜{ 0 }) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947  ifcif 4528  {csn 4628   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  β„©crio 7367  infcinf 9440  β„cr 11113   < clt 11253  0gc0g 17390  Ringcrg 20128  LIdealclidl 20929  Poly1cpl1 21921   deg1 cdg1 25805  Monic1pcmn1 25879  idlGen1pcig1p 25883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-lidl 20933  df-psr 21682  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-psr1 21924  df-ply1 21926  df-ig1p 25888
This theorem is referenced by:  ig1pcl  25929
  Copyright terms: Public domain W3C validator