Theorem ig1pval3 26239

Description: Characterizing properties of the monic generator of a nonzero ideal of polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pval3.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ig1pval3.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pval3.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ig1pval3.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ig1pval3	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))

Proof of Theorem ig1pval3

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ig1pval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ig1pval.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
3		ig1pval3.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
4		ig1pval3.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
5		ig1pval3.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
6		ig1pval3.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ig1pval 26237	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) = if(𝐼 = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))))
8	7	3adant3 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺‘𝐼) = if(𝐼 = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))))
9		simp3 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
10	9	neneqd 2963	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ¬ 𝐼 = { 0 })
11	10	iffalsed 4492	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → if(𝐼 = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) = (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
12	8, 11	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺‘𝐼) = (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
13	1, 4, 3, 6, 5	ig1peu 26236	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
14		riotacl2 7370	. . . 4 ⊢ (∃!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
16	12, 15	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺‘𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
17		elin 3921	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝐼) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ↔ ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝑀))
18	17	anbi1i 633	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝐼) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ↔ (((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
19		fveqeq2 6877	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐼) → ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
20	19	elrab 3651	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )} ↔ ((𝐺‘𝐼) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
21		df-3an 1101	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ↔ (((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
22	18, 20, 21	3bitr4i 305	. 2 ⊢ ((𝐺‘𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )} ↔ ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
23	16, 22	sylib 220	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃!wreu 3366  {crab 3415   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904  ifcif 4481  {csn 4583   “ cima 5651  ‘cfv 6522  ℩crio 7353  infcinf 9388  ℝcr 11073   < clt 11217  0_gc0g 17469  DivRingcdr 20780  LIdealclidl 21277  Poly₁cpl1 22240  deg₁cdg1 26115  Monic_1pcmn1 26187  idlGen_1pcig1p 26191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-ofr 7662  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-sup 9389  df-inf 9390  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14016  df-hash 14345  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-prds 17477  df-pws 17479  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-mulg 19111  df-subg 19166  df-ghm 19255  df-cntz 19358  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-cring 20287  df-oppr 20387  df-dvdsr 20407  df-unit 20408  df-invr 20438  df-subrng 20597  df-subrg 20621  df-rlreg 20745  df-drng 20782  df-lmod 20930  df-lss 21000  df-sra 21241  df-rgmod 21242  df-lidl 21279  df-cnfld 21426  df-ascl 21908  df-psr 21962  df-mvr 21963  df-mpl 21964  df-opsr 21966  df-psr1 22243  df-vr1 22244  df-ply1 22245  df-coe1 22246  df-mdeg 26116  df-deg1 26117  df-mon1 26192  df-uc1p 26193  df-ig1p 26196

This theorem is referenced by:  ig1pcl  26240  ig1pdvds  26241  ig1pmindeg  33799  minplym1p  34011  minplynzm1p  34012