MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ig1pval3 26140
Description: Characterizing properties of the monic generator of a nonzero ideal of polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1pβ€˜π‘…)
ig1pval3.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
ig1pval3.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
ig1pval3.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ig1pval3.m 𝑀 = (Monic1pβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ig1pval3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝑀 ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
Proof of Theorem ig1pval3
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pval.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
2 ig1pval.g . . . . . 6 𝐺 = (idlGen1pβ€˜π‘…)
3 ig1pval3.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
4 ig1pval3.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
5 ig1pval3.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
6 ig1pval3.m . . . . . 6 𝑀 = (Monic1pβ€˜π‘…)
71, 2, 3, 4, 5, 6ig1pval 26138 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΊβ€˜πΌ) = if(𝐼 = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ))))
873adant3 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (πΊβ€˜πΌ) = if(𝐼 = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ))))
9 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐼 β‰  { 0 })
109neneqd 2942 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ Β¬ 𝐼 = { 0 })
1110iffalsed 4543 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ if(𝐼 = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ))) = (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
128, 11eqtrd 2768 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (πΊβ€˜πΌ) = (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
131, 4, 3, 6, 5ig1peu 26137 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ))
14 riotacl2 7399 . . . 4 (βˆƒ!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ) β†’ (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )})
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )})
1612, 15eqeltrd 2829 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (πΊβ€˜πΌ) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )})
17 elin 3965 . . . 4 ((πΊβ€˜πΌ) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ↔ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝑀))
1817anbi1i 622 . . 3 (((πΊβ€˜πΌ) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )) ↔ (((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝑀) ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
19 fveqeq2 6911 . . . 4 (𝑔 = (πΊβ€˜πΌ) β†’ ((π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ) ↔ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
2019elrab 3684 . . 3 ((πΊβ€˜πΌ) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )} ↔ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
21 df-3an 1086 . . 3 (((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝑀 ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )) ↔ (((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝑀) ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
2218, 20, 213bitr4i 302 . 2 ((πΊβ€˜πΌ) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )} ↔ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝑀 ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
2316, 22sylib 217 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝑀 ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒ!wreu 3372  {crab 3430   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948  ifcif 4532  {csn 4632   β€œ cima 5685  β€˜cfv 6553  β„©crio 7381  infcinf 9474  β„cr 11147   < clt 11288  0gc0g 17430  DivRingcdr 20638  LIdealclidl 21116  Poly1cpl1 22114   deg1 cdg1 26015  Monic1pcmn1 26089  idlGen1pcig1p 26093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-lidl 21118  df-rlreg 21244  df-cnfld 21294  df-ascl 21803  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22117  df-vr1 22118  df-ply1 22119  df-coe1 22120  df-mdeg 26016  df-deg1 26017  df-mon1 26094  df-uc1p 26095  df-ig1p 26098
This theorem is referenced by:  ig1pcl  26141  ig1pdvds  26142  ig1pmindeg  33313  minplym1p  33424
  Copyright terms: Public domain W3C validator