MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ig1pval3 25683
Description: Characterizing properties of the monic generator of a nonzero ideal of polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1pβ€˜π‘…)
ig1pval3.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
ig1pval3.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
ig1pval3.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ig1pval3.m 𝑀 = (Monic1pβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ig1pval3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝑀 ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
Proof of Theorem ig1pval3
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pval.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
2 ig1pval.g . . . . . 6 𝐺 = (idlGen1pβ€˜π‘…)
3 ig1pval3.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
4 ig1pval3.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
5 ig1pval3.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
6 ig1pval3.m . . . . . 6 𝑀 = (Monic1pβ€˜π‘…)
71, 2, 3, 4, 5, 6ig1pval 25681 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΊβ€˜πΌ) = if(𝐼 = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ))))
873adant3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (πΊβ€˜πΌ) = if(𝐼 = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ))))
9 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ 𝐼 β‰  { 0 })
109neneqd 2945 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ Β¬ 𝐼 = { 0 })
1110iffalsed 4538 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ if(𝐼 = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ))) = (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
128, 11eqtrd 2772 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (πΊβ€˜πΌ) = (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
131, 4, 3, 6, 5ig1peu 25680 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ))
14 riotacl2 7378 . . . 4 (βˆƒ!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ) β†’ (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )})
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )})
1612, 15eqeltrd 2833 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ (πΊβ€˜πΌ) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )})
17 elin 3963 . . . 4 ((πΊβ€˜πΌ) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ↔ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝑀))
1817anbi1i 624 . . 3 (((πΊβ€˜πΌ) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )) ↔ (((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝑀) ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
19 fveqeq2 6897 . . . 4 (𝑔 = (πΊβ€˜πΌ) β†’ ((π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < ) ↔ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
2019elrab 3682 . . 3 ((πΊβ€˜πΌ) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )} ↔ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
21 df-3an 1089 . . 3 (((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝑀 ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )) ↔ (((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝑀) ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
2218, 20, 213bitr4i 302 . 2 ((πΊβ€˜πΌ) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (π·β€˜π‘”) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )} ↔ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝑀 ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
2316, 22sylib 217 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐼 β‰  { 0 }) β†’ ((πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝐼 ∧ (πΊβ€˜πΌ) ∈ 𝑀 ∧ (π·β€˜(πΊβ€˜πΌ)) = inf((𝐷 β€œ (𝐼 βˆ– { 0 })), ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒ!wreu 3374  {crab 3432   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946  ifcif 4527  {csn 4627   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  infcinf 9432  β„cr 11105   < clt 11244  0gc0g 17381  DivRingcdr 20307  LIdealclidl 20775  Poly1cpl1 21692   deg1 cdg1 25560  Monic1pcmn1 25634  idlGen1pcig1p 25638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rlreg 20891  df-cnfld 20937  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mdeg 25561  df-deg1 25562  df-mon1 25639  df-uc1p 25640  df-ig1p 25643
This theorem is referenced by:  ig1pcl  25684  ig1pdvds  25685  ig1pmindeg  32659
  Copyright terms: Public domain W3C validator