Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1pval3 24760
 Description: Characterizing properties of the monic generator of a nonzero ideal of polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
ig1pval3.z 0 = (0g𝑃)
ig1pval3.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pval3.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ig1pval3.m 𝑀 = (Monic1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
ig1pval3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))

Proof of Theorem ig1pval3
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pval.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 ig1pval.g . . . . . 6 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
3 ig1pval3.z . . . . . 6 0 = (0g𝑃)
4 ig1pval3.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
5 ig1pval3.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1𝑅)
6 ig1pval3.m . . . . . 6 𝑀 = (Monic1p𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6ig1pval 24758 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺𝐼) = if(𝐼 = { 0 }, 0 , (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))))
873adant3 1126 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺𝐼) = if(𝐼 = { 0 }, 0 , (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))))
9 simp3 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
109neneqd 3019 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ¬ 𝐼 = { 0 })
1110iffalsed 4476 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → if(𝐼 = { 0 }, 0 , (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) = (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
128, 11eqtrd 2854 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺𝐼) = (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
131, 4, 3, 6, 5ig1peu 24757 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
14 riotacl2 7122 . . . 4 (∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
1612, 15eqeltrd 2911 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
17 elin 4167 . . . 4 ((𝐺𝐼) ∈ (𝐼𝑀) ↔ ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀))
1817anbi1i 625 . . 3 (((𝐺𝐼) ∈ (𝐼𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ↔ (((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
19 fveqeq2 6672 . . . 4 (𝑔 = (𝐺𝐼) → ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
2019elrab 3678 . . 3 ((𝐺𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )} ↔ ((𝐺𝐼) ∈ (𝐼𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
21 df-3an 1083 . . 3 (((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ↔ (((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
2218, 20, 213bitr4i 305 . 2 ((𝐺𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )} ↔ ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
2316, 22sylib 220 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014  ∃!wreu 3138  {crab 3140   ∖ cdif 3931   ∩ cin 3933  ifcif 4465  {csn 4559   “ cima 5551  ‘cfv 6348  ℩crio 7105  infcinf 8897  ℝcr 10528   < clt 10667  0gc0g 16705  DivRingcdr 19494  LIdealclidl 19934  Poly1cpl1 20337   deg1 cdg1 24640  Monic1pcmn1 24711  idlGen1pcig1p 24715 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-ofr 7402  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-hash 13683  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-drng 19496  df-subrg 19525  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-lidl 19938  df-rlreg 20048  df-ascl 20079  df-psr 20128  df-mvr 20129  df-mpl 20130  df-opsr 20132  df-psr1 20340  df-vr1 20341  df-ply1 20342  df-coe1 20343  df-cnfld 20538  df-mdeg 24641  df-deg1 24642  df-mon1 24716  df-uc1p 24717  df-ig1p 24720 This theorem is referenced by:  ig1pcl  24761  ig1pdvds  24762
 Copyright terms: Public domain W3C validator