MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ig1pval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ig1pval3 24272
Description: Characterizing properties of the monic generator of a nonzero ideal of polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ig1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ig1pval.g 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
ig1pval3.z 0 = (0g𝑃)
ig1pval3.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pval3.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ig1pval3.m 𝑀 = (Monic1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
ig1pval3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))

Proof of Theorem ig1pval3
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ig1pval.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 ig1pval.g . . . . . 6 𝐺 = (idlGen1p𝑅)
3 ig1pval3.z . . . . . 6 0 = (0g𝑃)
4 ig1pval3.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
5 ig1pval3.d . . . . . 6 𝐷 = ( deg1𝑅)
6 ig1pval3.m . . . . . 6 𝑀 = (Monic1p𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6ig1pval 24270 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈) → (𝐺𝐼) = if(𝐼 = { 0 }, 0 , (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))))
873adant3 1163 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺𝐼) = if(𝐼 = { 0 }, 0 , (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))))
9 simp3 1169 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
109neneqd 2974 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ¬ 𝐼 = { 0 })
1110iffalsed 4286 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → if(𝐼 = { 0 }, 0 , (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) = (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
128, 11eqtrd 2831 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺𝐼) = (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
131, 4, 3, 6, 5ig1peu 24269 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
14 riotacl2 6850 . . . 4 (∃!𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝑔 ∈ (𝐼𝑀)(𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
1612, 15eqeltrd 2876 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
17 elin 3992 . . . 4 ((𝐺𝐼) ∈ (𝐼𝑀) ↔ ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀))
1817anbi1i 618 . . 3 (((𝐺𝐼) ∈ (𝐼𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ↔ (((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
19 fveqeq2 6418 . . . 4 (𝑔 = (𝐺𝐼) → ((𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
2019elrab 3554 . . 3 ((𝐺𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )} ↔ ((𝐺𝐼) ∈ (𝐼𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
21 df-3an 1110 . . 3 (((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ↔ (((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
2218, 20, 213bitr4i 295 . 2 ((𝐺𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼𝑀) ∣ (𝐷𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )} ↔ ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
2316, 22sylib 210 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  ∃!wreu 3089  {crab 3091  cdif 3764  cin 3766  ifcif 4275  {csn 4366  cima 5313  cfv 6099  crio 6836  infcinf 8587  cr 10221   < clt 10361  0gc0g 16412  DivRingcdr 19062  LIdealclidl 19490  Poly1cpl1 19866   deg1 cdg1 24152  Monic1pcmn1 24223  idlGen1pcig1p 24227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300  ax-addf 10301  ax-mulf 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-ofr 7130  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-tpos 7588  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-sup 8588  df-inf 8589  df-oi 8655  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-seq 13052  df-hash 13367  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-mhm 17647  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-mulg 17854  df-subg 17901  df-ghm 17968  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-cring 18863  df-oppr 18936  df-dvdsr 18954  df-unit 18955  df-invr 18985  df-drng 19064  df-subrg 19093  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-sra 19492  df-rgmod 19493  df-lidl 19494  df-rlreg 19603  df-ascl 19634  df-psr 19676  df-mvr 19677  df-mpl 19678  df-opsr 19680  df-psr1 19869  df-vr1 19870  df-ply1 19871  df-coe1 19872  df-cnfld 20066  df-mdeg 24153  df-deg1 24154  df-mon1 24228  df-uc1p 24229  df-ig1p 24232
This theorem is referenced by:  ig1pcl  24273  ig1pdvds  24274
  Copyright terms: Public domain W3C validator