Theorem lineval 49613

Description: A term of the form 𝑥 − 𝐶 evaluated for 𝑥 = 𝑉 results in 𝑉 − 𝐶 (part of ply1remlem 26490). (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linply1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
linply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
linply1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
linply1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
linply1.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
linply1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
linply1.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝐶))
linply1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
lineval.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
lineval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
lineval.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lineval	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑉) = (𝑉(-g‘𝑅)𝐶))

Proof of Theorem lineval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		linply1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝐶))
2	1	fveq2i 6891	. . 3 ⊢ (𝑂‘𝐺) = (𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝐶)))
3	2	fveq1i 6889	. 2 ⊢ ((𝑂‘𝐺)‘𝑉) = ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝐶)))‘𝑉)
4		lineval.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
5		linply1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		linply1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
7		linply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8		lineval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
9		lineval.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐾)
10		linply1.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
11	4, 10, 6, 5, 7, 8, 9	evl1vard 22662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘𝑉) = 𝑉))
12		linply1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
13		linply1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
14	4, 5, 6, 12, 7, 8, 13, 9	evl1scad 22660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐴‘𝐶))‘𝑉) = 𝐶))
15		linply1.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
16		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
17	4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16	evl1subd 22667	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (𝐴‘𝐶)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝐶)))‘𝑉) = (𝑉(-g‘𝑅)𝐶)))
18	17	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑋 − (𝐴‘𝐶)))‘𝑉) = (𝑉(-g‘𝑅)𝐶))
19	3, 18	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑉) = (𝑉(-g‘𝑅)𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  -_gcsg 19153  CRingccrg 20467  algSccascl 22167  var₁cv1 22501  Poly₁cpl1 22502  eval₁ce1 22639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-ofr 7696  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-sup 9439  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-seq 14150  df-hash 14480  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-hom 17459  df-cco 17460  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-prds 17625  df-pws 17627  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-mhm 18985  df-submnd 18986  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-mulg 19285  df-subg 19340  df-ghm 19435  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-srg 20420  df-ring 20468  df-cring 20469  df-rhm 20709  df-subrng 20805  df-subrg 20829  df-lmod 21144  df-lss 21214  df-lsp 21254  df-assa 22168  df-asp 22169  df-ascl 22170  df-psr 22224  df-mvr 22225  df-mpl 22226  df-opsr 22228  df-evls 22390  df-evl 22391  df-psr1 22505  df-vr1 22506  df-ply1 22507  df-evl1 22641

This theorem is used by:  linevalexample  49614