Theorem evl1at1 43811

Description: Polynomial evaluation for the 1 scalar. (Contributed by AV, 10-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1at0.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1at0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1at1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
evl1at1.i	⊢ 𝐼 = (1r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
evl1at1	⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑂‘𝐼)‘ 1 ) = 1 )

Proof of Theorem evl1at1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 19031	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		evl1at0.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2779	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
4		evl1at1.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		evl1at1.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (1r‘𝑃)
6	2, 3, 4, 5	ply1scl1 20163	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘ 1 ) = 𝐼)
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((algSc‘𝑃)‘ 1 ) = 𝐼)
8	7	eqcomd 2785	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = ((algSc‘𝑃)‘ 1 ))
9	8	fveq2d 6503	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝐼) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘ 1 )))
10	9	fveq1d 6501	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑂‘𝐼)‘ 1 ) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘ 1 ))‘ 1 ))
11		evl1at0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
12		eqid 2779	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2779	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
14		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
15	12, 4	ringidcl 19041	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
16	1, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 1 ∈ (Base‘𝑅))
17	11, 2, 12, 3, 13, 14, 16, 16	evl1scad 20200	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((algSc‘𝑃)‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘ 1 ))‘ 1 ) = 1 ))
18	17	simprd 488	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘ 1 ))‘ 1 ) = 1 )
19	10, 18	eqtrd 2815	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑂‘𝐼)‘ 1 ) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ‘cfv 6188  Basecbs 16339  1_rcur 18974  Ringcrg 19020  CRingccrg 19021  algSccascl 19805  Poly₁cpl1 20048  eval₁ce1 20180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-ofr 7228  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-hash 13506  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-hom 16445  df-cco 16446  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-prds 16577  df-pws 16579  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-srg 18979  df-ring 19022  df-cring 19023  df-rnghom 19190  df-subrg 19256  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lsp 19466  df-assa 19806  df-asp 19807  df-ascl 19808  df-psr 19850  df-mvr 19851  df-mpl 19852  df-opsr 19854  df-evls 19999  df-evl 20000  df-psr1 20051  df-ply1 20053  df-evl1 20182

This theorem is referenced by: (None)