Theorem evl1at1 47451

Description: Polynomial evaluation for the 1 scalar. (Contributed by AV, 10-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1at0.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1at0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1at1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
evl1at1.i	⊢ 𝐼 = (1r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
evl1at1	⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑂‘𝐼)‘ 1 ) = 1 )

Proof of Theorem evl1at1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20179	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		evl1at0.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
4		evl1at1.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		evl1at1.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (1r‘𝑃)
6	2, 3, 4, 5	ply1scl1 22206	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘ 1 ) = 𝐼)
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((algSc‘𝑃)‘ 1 ) = 𝐼)
8	7	eqcomd 2734	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐼 = ((algSc‘𝑃)‘ 1 ))
9	8	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝐼) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘ 1 )))
10	9	fveq1d 6894	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑂‘𝐼)‘ 1 ) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘ 1 ))‘ 1 ))
11		evl1at0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
12		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
14		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CRing)
15	12, 4	ringidcl 20196	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
16	1, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 1 ∈ (Base‘𝑅))
17	11, 2, 12, 3, 13, 14, 16, 16	evl1scad 22248	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (((algSc‘𝑃)‘ 1 ) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘ 1 ))‘ 1 ) = 1 ))
18	17	simprd 495	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘ 1 ))‘ 1 ) = 1 )
19	10, 18	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑂‘𝐼)‘ 1 ) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6543  Basecbs 17174  1_rcur 20115  Ringcrg 20167  CRingccrg 20168  algSccascl 21780  Poly₁cpl1 22090  eval₁ce1 22227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-mulg 19018  df-subg 19072  df-ghm 19162  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-srg 20121  df-ring 20169  df-cring 20170  df-rhm 20405  df-subrng 20477  df-subrg 20502  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lsp 20850  df-assa 21781  df-asp 21782  df-ascl 21783  df-psr 21836  df-mvr 21837  df-mpl 21838  df-opsr 21840  df-evls 22012  df-evl 22013  df-psr1 22093  df-ply1 22095  df-evl1 22229

This theorem is referenced by: (None)