Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evl1at1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1at1 47451
Description: Polynomial evaluation for the 1 scalar. (Contributed by AV, 10-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1at0.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
evl1at0.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
evl1at1.1 1 = (1rβ€˜π‘…)
evl1at1.i 𝐼 = (1rβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
evl1at1 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((π‘‚β€˜πΌ)β€˜ 1 ) = 1 )

Proof of Theorem evl1at1
StepHypRef Expression
1 crngring 20179 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 evl1at0.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
3 eqid 2728 . . . . . . 7 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
4 evl1at1.1 . . . . . . 7 1 = (1rβ€˜π‘…)
5 evl1at1.i . . . . . . 7 𝐼 = (1rβ€˜π‘ƒ)
62, 3, 4, 5ply1scl1 22206 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜ 1 ) = 𝐼)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜ 1 ) = 𝐼)
87eqcomd 2734 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐼 = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜ 1 ))
98fveq2d 6896 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ (π‘‚β€˜πΌ) = (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜ 1 )))
109fveq1d 6894 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((π‘‚β€˜πΌ)β€˜ 1 ) = ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜ 1 ))β€˜ 1 ))
11 evl1at0.o . . . 4 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
12 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
13 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
14 id 22 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ CRing)
1512, 4ringidcl 20196 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
161, 15syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1711, 2, 12, 3, 13, 14, 16, 16evl1scad 22248 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜ 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜ 1 ))β€˜ 1 ) = 1 ))
1817simprd 495 . 2 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜ 1 ))β€˜ 1 ) = 1 )
1910, 18eqtrd 2768 1 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((π‘‚β€˜πΌ)β€˜ 1 ) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6543  Basecbs 17174  1rcur 20115  Ringcrg 20167  CRingccrg 20168  algSccascl 21780  Poly1cpl1 22090  eval1ce1 22227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-mulg 19018  df-subg 19072  df-ghm 19162  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-srg 20121  df-ring 20169  df-cring 20170  df-rhm 20405  df-subrng 20477  df-subrg 20502  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lsp 20850  df-assa 21781  df-asp 21782  df-ascl 21783  df-psr 21836  df-mvr 21837  df-mpl 21838  df-opsr 21840  df-evls 22012  df-evl 22013  df-psr1 22093  df-ply1 22095  df-evl1 22229
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator