Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem31 41087
Description: Lemma for mapdpg 41090. Baer p. 45 line 19: "...and we have consequently that y' = y'', as we claimed." (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.f 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdpg.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdpg.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdpg.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdpg.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdpg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdpg.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
mapdpgem25.h1 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)}))))
mapdpgem25.i1 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝑖}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem26.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mapdpglem26.t Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
mapdpglem26.o 𝑂 = (0gβ€˜π΄)
mapdpglem28.ve (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
mapdpglem28.u1 (πœ‘ β†’ β„Ž = (𝑒 Β· 𝑖))
mapdpglem28.u2 (πœ‘ β†’ (πΊπ‘…β„Ž) = (𝑣 Β· (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem31 (πœ‘ β†’ β„Ž = 𝑖)
Distinct variable groups:   β„Ž,𝑖,𝑒,𝑣   𝑒,𝐡,𝑣   𝑒,𝐢,𝑣   𝑒,𝑂,𝑣   𝑒, Β· ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐡(β„Ž,𝑖)   𝐢(β„Ž,𝑖)   𝑅(𝑒,β„Ž,𝑖)   Β· (β„Ž,𝑖)   π‘ˆ(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐺(𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   βˆ’ (𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑂(β„Ž,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   π‘Š(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   π‘Œ(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   0 (𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem31
StepHypRef Expression
1 mapdpglem28.u1 . 2 (πœ‘ β†’ β„Ž = (𝑒 Β· 𝑖))
2 mapdpg.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 mapdpg.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 mapdpglem26.a . . . . 5 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2726 . . . . 5 (1rβ€˜π΄) = (1rβ€˜π΄)
6 mapdpg.c . . . . 5 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2726 . . . . 5 (Scalarβ€˜πΆ) = (Scalarβ€˜πΆ)
8 eqid 2726 . . . . 5 (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
9 mapdpg.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcd1 40993 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜π΄))
1110oveq1d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) Β· 𝑖) = ((1rβ€˜π΄) Β· 𝑖))
122, 6, 9lcdlmod 40976 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
13 mapdpgem25.i1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝑖}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)}))))
1413simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑖 ∈ 𝐹)
15 mapdpg.f . . . . 5 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
16 mapdpglem26.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
1715, 7, 16, 8lmodvs1 20736 . . . 4 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) Β· 𝑖) = 𝑖)
1812, 14, 17syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) Β· 𝑖) = 𝑖)
19 mapdpg.m . . . . . 6 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
20 mapdpg.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
21 mapdpg.s . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
22 mapdpg.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
23 mapdpg.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
24 mapdpg.r . . . . . 6 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
25 mapdpg.j . . . . . 6 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
26 mapdpg.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
27 mapdpg.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
28 mapdpg.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
29 mapdpg.ne . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
30 mapdpg.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
31 mapdpgem25.h1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)}))))
32 mapdpglem26.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
33 mapdpglem26.o . . . . . 6 𝑂 = (0gβ€˜π΄)
34 mapdpglem28.ve . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
35 mapdpglem28.u2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊπ‘…β„Ž) = (𝑣 Β· (𝐺𝑅𝑖)))
36 mapdpglem28.ue . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
372, 19, 3, 20, 21, 22, 23, 6, 15, 24, 25, 9, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 4, 32, 16, 33, 34, 1, 35, 36mapdpglem30 41086 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ 𝑣 = 𝑒))
38 eqtr2 2750 . . . . 5 ((𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ 𝑣 = 𝑒) β†’ (1rβ€˜π΄) = 𝑒)
3937, 38syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π΄) = 𝑒)
4039oveq1d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π΄) Β· 𝑖) = (𝑒 Β· 𝑖))
4111, 18, 403eqtr3rd 2775 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑒 Β· 𝑖) = 𝑖)
421, 41eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ β„Ž = 𝑖)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ– cdif 3940  {csn 4623  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  -gcsg 18865  1rcur 20086  LModclmod 20706  LSpanclspn 20818  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DVecHcdvh 40462  LCDualclcd 40970  mapdcmpd 41008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-lshyp 38360  df-lcv 38402  df-lfl 38441  df-lkr 38469  df-ldual 38507  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tgrp 40127  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-dveca 40387  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613  df-doch 40732  df-djh 40779  df-lcdual 40971  df-mapd 41009
This theorem is referenced by:  mapdpglem32  41089
  Copyright terms: Public domain W3C validator