Theorem mapdpglem31 42740

Description: Lemma for mapdpg 42743. Baer p. 45 line 19: "...and we have consequently that y' = y'', as we claimed." (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem26.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
mapdpglem28.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
mapdpglem28.u1	⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
mapdpglem28.u2	⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem31	⊢ (𝜑 → ℎ = 𝑖)

Distinct variable groups:   ℎ,𝑖,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐶,𝑣   𝑢,𝑂,𝑣   𝑢, · ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐴(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐵(ℎ, 𝑖)   𝐶(ℎ, 𝑖)   𝑅(𝑢, ℎ, 𝑖)   · (ℎ, 𝑖)   𝑈(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐹(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐺(𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐻(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐽(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝐾(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑀(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   − (𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑁(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑂(ℎ, 𝑖)   𝑉(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑊(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑋(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   𝑌(𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)   0 (𝑣, 𝑢, ℎ, 𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem31

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem28.u1	. 2 ⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
2		mapdpg.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdpg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpglem26.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
6		mapdpg.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
9		mapdpg.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcd1 42646	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝐴))
11	10	oveq1d 7433	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝑖) = ((1r‘𝐴) · 𝑖))
12	2, 6, 9	lcdlmod 42629	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
13		mapdpgem25.i1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
14	13	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
15		mapdpg.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
16		mapdpglem26.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
17	15, 7, 16, 8	lmodvs1 21158	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝑖) = 𝑖)
18	12, 14, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝑖) = 𝑖)
19		mapdpg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
20		mapdpg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
21		mapdpg.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
22		mapdpg.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
23		mapdpg.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
24		mapdpg.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
25		mapdpg.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
26		mapdpg.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
27		mapdpg.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28		mapdpg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		mapdpg.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30		mapdpg.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
31		mapdpgem25.h1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
32		mapdpglem26.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
33		mapdpglem26.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
34		mapdpglem28.ve	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
35		mapdpglem28.u2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
36		mapdpglem28.ue	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)
37	2, 19, 3, 20, 21, 22, 23, 6, 15, 24, 25, 9, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 4, 32, 16, 33, 34, 1, 35, 36	mapdpglem30 42739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))
38		eqtr2 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢) → (1r‘𝐴) = 𝑢)
39	37, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) = 𝑢)
40	39	oveq1d 7433	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑖) = (𝑢 · 𝑖))
41	11, 18, 40	3eqtr3rd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 · 𝑖) = 𝑖)
42	1, 41	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ℎ = 𝑖)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  0_gc0g 17603  -_gcsg 19139  1_rcur 20400  LModclmod 21128  LSpanclspn 21239  HLchlt 40387  LHypclh 41021  DVecHcdvh 42115  LCDualclcd 42623  mapdcmpd 42661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-riotaBAD 39990

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-undef 8283  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-0g 17605  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-proset 18461  df-poset 18480  df-plt 18495  df-lub 18511  df-glb 18512  df-join 18513  df-meet 18514  df-p0 18590  df-p1 18591  df-lat 18599  df-clat 18666  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-subg 19326  df-cntz 19524  df-oppg 19553  df-lsm 19843  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-dvr 20624  df-nzr 20756  df-rlreg 20939  df-domn 20940  df-drng 20975  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-lvec 21371  df-lsatoms 40013  df-lshyp 40014  df-lcv 40056  df-lfl 40095  df-lkr 40123  df-ldual 40161  df-oposet 40213  df-ol 40215  df-oml 40216  df-covers 40303  df-ats 40304  df-atl 40335  df-cvlat 40359  df-hlat 40388  df-llines 40535  df-lplanes 40536  df-lvols 40537  df-lines 40538  df-psubsp 40540  df-pmap 40541  df-padd 40833  df-lhyp 41025  df-laut 41026  df-ldil 41141  df-ltrn 41142  df-trl 41196  df-tgrp 41780  df-tendo 41792  df-edring 41794  df-dveca 42040  df-disoa 42066  df-dvech 42116  df-dib 42176  df-dic 42210  df-dih 42266  df-doch 42385  df-djh 42432  df-lcdual 42624  df-mapd 42662

This theorem is used by:  mapdpglem32  42742