Theorem mapdpglem31 39713

Description: Lemma for mapdpg 39716. Baer p. 45 line 19: "...and we have consequently that y' = y'', as we claimed." (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem26.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
mapdpglem28.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
mapdpglem28.u1	⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
mapdpglem28.u2	⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem31	⊢ (𝜑 → ℎ = 𝑖)

Distinct variable groups:   ℎ,𝑖,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐶,𝑣   𝑢,𝑂,𝑣   𝑢, · ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐶(ℎ,𝑖)   𝑅(𝑢,ℎ,𝑖)   · (ℎ,𝑖)   𝑈(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   − (𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑂(ℎ,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑊(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑌(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   0 (𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem31

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem28.u1	. 2 ⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
2		mapdpg.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdpg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpglem26.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
6		mapdpg.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
9		mapdpg.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcd1 39619	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝐴))
11	10	oveq1d 7286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝑖) = ((1r‘𝐴) · 𝑖))
12	2, 6, 9	lcdlmod 39602	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
13		mapdpgem25.i1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
14	13	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
15		mapdpg.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
16		mapdpglem26.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
17	15, 7, 16, 8	lmodvs1 20149	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑖 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝑖) = 𝑖)
18	12, 14, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝑖) = 𝑖)
19		mapdpg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
20		mapdpg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
21		mapdpg.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
22		mapdpg.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
23		mapdpg.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
24		mapdpg.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
25		mapdpg.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
26		mapdpg.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
27		mapdpg.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28		mapdpg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		mapdpg.ne	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30		mapdpg.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
31		mapdpgem25.h1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
32		mapdpglem26.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
33		mapdpglem26.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
34		mapdpglem28.ve	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
35		mapdpglem28.u2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
36		mapdpglem28.ue	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)
37	2, 19, 3, 20, 21, 22, 23, 6, 15, 24, 25, 9, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 4, 32, 16, 33, 34, 1, 35, 36	mapdpglem30 39712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))
38		eqtr2 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢) → (1r‘𝐴) = 𝑢)
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) = 𝑢)
40	39	oveq1d 7286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑖) = (𝑢 · 𝑖))
41	11, 18, 40	3eqtr3rd 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 · 𝑖) = 𝑖)
42	1, 41	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ℎ = 𝑖)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   ∖ cdif 3889  {csn 4567  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  Scalarcsca 16963   ·_𝑠 cvsca 16964  0_gc0g 17148  -_gcsg 18577  1_rcur 19735  LModclmod 20121  LSpanclspn 20231  HLchlt 37360  LHypclh 37994  DVecHcdvh 39088  LCDualclcd 39596  mapdcmpd 39634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-riotaBAD 36963

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-undef 8080  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-0g 17150  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-p1 18142  df-lat 18148  df-clat 18215  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-oppg 18948  df-lsm 19239  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-drng 19991  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-lsp 20232  df-lvec 20363  df-lsatoms 36986  df-lshyp 36987  df-lcv 37029  df-lfl 37068  df-lkr 37096  df-ldual 37134  df-oposet 37186  df-ol 37188  df-oml 37189  df-covers 37276  df-ats 37277  df-atl 37308  df-cvlat 37332  df-hlat 37361  df-llines 37508  df-lplanes 37509  df-lvols 37510  df-lines 37511  df-psubsp 37513  df-pmap 37514  df-padd 37806  df-lhyp 37998  df-laut 37999  df-ldil 38114  df-ltrn 38115  df-trl 38169  df-tgrp 38753  df-tendo 38765  df-edring 38767  df-dveca 39013  df-disoa 39039  df-dvech 39089  df-dib 39149  df-dic 39183  df-dih 39239  df-doch 39358  df-djh 39405  df-lcdual 39597  df-mapd 39635

This theorem is referenced by:  mapdpglem32  39715