MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1pwle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1pwle 25430
Description: Limiting degree of a variable power. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1pw.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1pw.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1pw.x 𝑋 = (var1𝑅)
deg1pw.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
deg1pw.e = (.g𝑁)
Assertion
Ref Expression
deg1pwle ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐹 𝑋)) ≤ 𝐹)

Proof of Theorem deg1pwle
StepHypRef Expression
1 deg1pw.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1lmod 21569 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
3 deg1pw.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
4 deg1pw.n . . . . 5 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
5 deg1pw.e . . . . 5 = (.g𝑁)
6 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
71, 3, 4, 5, 6ply1moncl 21588 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐹 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
8 eqid 2736 . . . . 5 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
9 eqid 2736 . . . . 5 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
10 eqid 2736 . . . . 5 (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
116, 8, 9, 10lmodvs1 20297 . . . 4 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐹 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐹 𝑋)) = (𝐹 𝑋))
122, 7, 11syl2an2r 683 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐹 𝑋)) = (𝐹 𝑋))
1312fveq2d 6843 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐹 𝑋))) = (𝐷‘(𝐹 𝑋)))
14 simpl 483 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
151ply1sca 21570 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
1615fveq2d 6843 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
17 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18 eqid 2736 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1917, 18ringidcl 19937 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2016, 19eqeltrrd 2839 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
2120adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (1r‘(Scalar‘𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
22 simpr 485 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ℕ0)
23 deg1pw.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
2423, 17, 1, 3, 9, 4, 5deg1tmle 25428 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘(Scalar‘𝑃)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐹 𝑋))) ≤ 𝐹)
2514, 21, 22, 24syl3anc 1371 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐹 𝑋))) ≤ 𝐹)
2613, 25eqbrtrrd 5127 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐹 𝑋)) ≤ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7351  cle 11148  0cn0 12371  Basecbs 17037  Scalarcsca 17090   ·𝑠 cvsca 17091  .gcmg 18825  mulGrpcmgp 19849  1rcur 19866  Ringcrg 19912  LModclmod 20269  var1cv1 21493  Poly1cpl1 21494   deg1 cdg1 25362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-ofr 7610  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-hash 14185  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-starv 17102  df-sca 17103  df-vsca 17104  df-tset 17106  df-ple 17107  df-ds 17109  df-unif 17110  df-0g 17277  df-gsum 17278  df-mre 17420  df-mrc 17421  df-acs 17423  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-mhm 18555  df-submnd 18556  df-grp 18705  df-minusg 18706  df-sbg 18707  df-mulg 18826  df-subg 18878  df-ghm 18959  df-cntz 19050  df-cmn 19517  df-abl 19518  df-mgp 19850  df-ur 19867  df-ring 19914  df-cring 19915  df-subrg 20167  df-lmod 20271  df-lss 20340  df-cnfld 20744  df-psr 21258  df-mvr 21259  df-mpl 21260  df-opsr 21262  df-psr1 21497  df-vr1 21498  df-ply1 21499  df-coe1 21500  df-mdeg 25363  df-deg1 25364
This theorem is referenced by:  hbtlem4  41356
  Copyright terms: Public domain W3C validator