Theorem coe1mon 34112

Description: Coefficient vector of a monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1moneq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1moneq.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1moneq.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
coe1mon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1mon.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
coe1mon.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1mon.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1mon	⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑁, 1 , 0 )))

Distinct variable groups:   0 ,𝑘   1 ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem coe1mon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1mon.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		coe1mon.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ply1moneq.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1sca 22563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5	2, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6	5	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
7	1, 6	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
8	7	oveq1d 7433	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋)))
9	3	ply1lmod 22562	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
10	2, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
11		coe1mon.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		ply1moneq.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
13		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
14		ply1moneq.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
15		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
16	3, 12, 13, 14, 15	ply1moncl 22583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
17	2, 11, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
18		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
19		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
20		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
21	15, 18, 19, 20	lmodvs1 21158	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁 ↑ 𝑋))
22	10, 17, 21	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁 ↑ 𝑋))
23	8, 22	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁 ↑ 𝑋))
24	23	fveq2d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋))) = (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋)))
25		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26	25, 1	ringidcl 20487	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
27	2, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
28		coe1mon.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	28, 25, 3, 12, 19, 13, 14	coe1tm 22585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (coe1‘( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑁, 1 , 0 )))
30	2, 27, 11, 29	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑁, 1 , 0 )))
31	24, 30	eqtr3d 2798	1 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑁, 1 , 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℕ₀cn0 12599  Basecbs 17380  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  0_gc0g 17603  ._gcmg 19270  mulGrpcmgp 20353  1_rcur 20400  Ringcrg 20452  LModclmod 21128  var₁cv1 22487  Poly₁cpl1 22488  coe₁cco1 22489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-psr 22210  df-mvr 22211  df-mpl 22212  df-opsr 22214  df-psr1 22491  df-vr1 22492  df-ply1 22493  df-coe1 22494

This theorem is used by:  ply1moneq  34113  coe1vr1  34116  rtelextdg2lem  34351  2sqr3minply  34405  cos9thpiminply  34413