Theorem coe1mon 32652

Description: Coefficient vector of a monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1moneq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1moneq.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1moneq.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
coe1mon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1mon.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
coe1mon.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1mon.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1mon	⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑁, 1 , 0 )))

Distinct variable groups:   0 ,𝑘   1 ,𝑘   ↑ ,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem coe1mon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1mon.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		coe1mon.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ply1moneq.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1sca 21766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6	5	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
7	1, 6	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
8	7	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋)))
9	3	ply1lmod 21765	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
10	2, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
11		coe1mon.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		ply1moneq.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
13		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
14		ply1moneq.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
15		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
16	3, 12, 13, 14, 15	ply1moncl 21784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
17	2, 11, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
18		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
19		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
20		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
21	15, 18, 19, 20	lmodvs1 20492	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁 ↑ 𝑋))
22	10, 17, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁 ↑ 𝑋))
23	8, 22	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁 ↑ 𝑋))
24	23	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋))) = (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋)))
25		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26	25, 1	ringidcl 20076	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
27	2, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
28		coe1mon.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	28, 25, 3, 12, 19, 13, 14	coe1tm 21786	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (coe1‘( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑁, 1 , 0 )))
30	2, 27, 11, 29	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑁 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑁, 1 , 0 )))
31	24, 30	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝑁, 1 , 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381  ._gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  1_rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  var₁cv1 21691  Poly₁cpl1 21692  coe₁cco1 21693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698

This theorem is referenced by:  ply1moneq  32653