Theorem mapdh75fN 38893

Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (6 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh75.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh75.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh75.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh75.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh75.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh75.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh75.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh75.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh75.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh75.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh75.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh75.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh75.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh75a	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh75d.b	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh75d.vw	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh75d.un	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh75d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh75d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh75d.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
mapdh75fN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑌⟩) = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐸,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐺,𝑥   0 ,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑥,𝑄   𝑅,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐼(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh75fN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh75.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh75.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh75.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh75.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		mapdh75.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		mapdh75.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdh75.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh75.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		mapdh75.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		mapdh75.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		mapdh75.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdh75.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdh75.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		mapdh75.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdh75a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
16		mapdh75.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
17		mapdh75.mn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
18		mapdh75d.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19		mapdh75d.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	19	eldifad 3950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
21	1, 2, 14	dvhlvec 38247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
22	18	eldifad 3950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		mapdh75d.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24	23	eldifad 3950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
25		mapdh75d.un	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
26	3, 6, 21, 22, 20, 24, 25	lspindpi 19906	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
27	26	simpld 497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
28	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 16, 17, 18, 20, 27	mapdhcl 38865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
29	15, 28	eqeltrrd 2916	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
30	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 16, 17, 18, 19, 29, 27	mapdheq 38866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
31	15, 30	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
32	31	simpld 497	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
33		mapdh75d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
34		mapdh75d.vw	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 15, 33, 34, 25, 18, 19, 23	mapdh75d 38892	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑍⟩) = 𝐸)
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 29, 32, 35, 34, 19, 23	mapdh75e 38890	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑌⟩) = 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935  ifcif 4469  {csn 4569  {cpr 4571  ⟨cotp 4577   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  ℩crio 7115  (class class class)co 7158  1^st c1st 7689  2^nd c2nd 7690  Basecbs 16485  0_gc0g 16715  -_gcsg 18107  LSpanclspn 19745  HLchlt 36488  LHypclh 37122  DVecHcdvh 38216  LCDualclcd 38724  mapdcmpd 38762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-riotaBAD 36091

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-ot 4578  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-undef 7941  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-oppg 18476  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877  df-lsatoms 36114  df-lshyp 36115  df-lcv 36157  df-lfl 36196  df-lkr 36224  df-ldual 36262  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637  df-lvols 36638  df-lines 36639  df-psubsp 36641  df-pmap 36642  df-padd 36934  df-lhyp 37126  df-laut 37127  df-ldil 37242  df-ltrn 37243  df-trl 37297  df-tgrp 37881  df-tendo 37893  df-edring 37895  df-dveca 38141  df-disoa 38167  df-dvech 38217  df-dib 38277  df-dic 38311  df-dih 38367  df-doch 38486  df-djh 38533  df-lcdual 38725  df-mapd 38763

This theorem is referenced by: (None)