Theorem mapdh75fN 39990

Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (6 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh75.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh75.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh75.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh75.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh75.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh75.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh75.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh75.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh75.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh75.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh75.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh75.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh75.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh75.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh75a	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh75d.b	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh75d.vw	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh75d.un	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh75d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh75d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh75d.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
mapdh75fN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑌⟩) = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐸,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐺,𝑥   0 ,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑥,𝑄   𝑅,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐼(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh75fN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh75.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh75.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh75.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh75.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		mapdh75.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		mapdh75.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdh75.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh75.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		mapdh75.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		mapdh75.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		mapdh75.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdh75.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdh75.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		mapdh75.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdh75a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
16		mapdh75.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
17		mapdh75.mn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
18		mapdh75d.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19		mapdh75d.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	19	eldifad 3909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
21	1, 2, 14	dvhlvec 39344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
22	18	eldifad 3909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		mapdh75d.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24	23	eldifad 3909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
25		mapdh75d.un	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
26	3, 6, 21, 22, 20, 24, 25	lspindpi 20477	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
27	26	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
28	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 16, 17, 18, 20, 27	mapdhcl 39962	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
29	15, 28	eqeltrrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
30	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 16, 17, 18, 19, 29, 27	mapdheq 39963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
31	15, 30	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
32	31	simpld 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
33		mapdh75d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
34		mapdh75d.vw	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 15, 33, 34, 25, 18, 19, 23	mapdh75d 39989	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑍⟩) = 𝐸)
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 29, 32, 35, 34, 19, 23	mapdh75e 39987	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑌⟩) = 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  Vcvv 3441   ∖ cdif 3894  ifcif 4471  {csn 4571  {cpr 4573  ⟨cotp 4579   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6466  ℩crio 7273  (class class class)co 7317  1^st c1st 7876  2^nd c2nd 7877  Basecbs 16989  0_gc0g 17227  -_gcsg 18655  LSpanclspn 20316  HLchlt 37584  LHypclh 38219  DVecHcdvh 39313  LCDualclcd 39821  mapdcmpd 39859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-riotaBAD 37187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-ot 4580  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-of 7575  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-tpos 8091  df-undef 8138  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-er 8548  df-map 8667  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-n0 12314  df-z 12400  df-uz 12663  df-fz 13320  df-struct 16925  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-sca 17055  df-vsca 17056  df-0g 17229  df-mre 17372  df-mrc 17373  df-acs 17375  df-proset 18090  df-poset 18108  df-plt 18125  df-lub 18141  df-glb 18142  df-join 18143  df-meet 18144  df-p0 18220  df-p1 18221  df-lat 18227  df-clat 18294  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-submnd 18508  df-grp 18656  df-minusg 18657  df-sbg 18658  df-subg 18828  df-cntz 18999  df-oppg 19026  df-lsm 19317  df-cmn 19463  df-abl 19464  df-mgp 19796  df-ur 19813  df-ring 19860  df-oppr 19937  df-dvdsr 19958  df-unit 19959  df-invr 19989  df-dvr 20000  df-drng 20072  df-lmod 20208  df-lss 20277  df-lsp 20317  df-lvec 20448  df-lsatoms 37210  df-lshyp 37211  df-lcv 37253  df-lfl 37292  df-lkr 37320  df-ldual 37358  df-oposet 37410  df-ol 37412  df-oml 37413  df-covers 37500  df-ats 37501  df-atl 37532  df-cvlat 37556  df-hlat 37585  df-llines 37733  df-lplanes 37734  df-lvols 37735  df-lines 37736  df-psubsp 37738  df-pmap 37739  df-padd 38031  df-lhyp 38223  df-laut 38224  df-ldil 38339  df-ltrn 38340  df-trl 38394  df-tgrp 38978  df-tendo 38990  df-edring 38992  df-dveca 39238  df-disoa 39264  df-dvech 39314  df-dib 39374  df-dic 39408  df-dih 39464  df-doch 39583  df-djh 39630  df-lcdual 39822  df-mapd 39860

This theorem is referenced by: (None)