Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8c 38953
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8c.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh8c.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8c.a (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
mapdh8c.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8c.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8c.xt (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8c.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8c.w (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8c.wt (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8c.ut (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8c.vw (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
mapdh8c.e (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
mapdh8c.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8c (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐼   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   ,𝐸,𝑥   𝑤,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑄(𝑤,)   𝑅(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐸(𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,)   𝐼(𝑥,𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,)   𝑀(𝑤)   (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,)   𝑊(𝑥,𝑤,)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem mapdh8c
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.s . 2 = (-g𝑈)
5 mapdh8a.o . 2 0 = (0g𝑈)
6 mapdh8a.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh8a.c . 2 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh8a.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh8a.r . 2 𝑅 = (-g𝐶)
10 mapdh8a.q . 2 𝑄 = (0g𝐶)
11 mapdh8a.j . 2 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh8a.m . 2 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh8a.i . 2 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 mapdh8a.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdh8c.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh8c.mn . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdh8c.a . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
18 mapdh8c.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdh8c.w . 2 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20 mapdh8c.wt . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
21 mapdh8c.xt . 2 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
221, 2, 14dvhlvec 38281 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2318eldifad 3925 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
24 mapdh8c.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2524eldifad 3925 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
2619eldifad 3925 . . . 4 (𝜑𝑤𝑉)
27 mapdh8c.xn . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
283, 6, 22, 23, 25, 26, 27lspindpi 19880 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤})))
2928simprd 498 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
3021eldifad 3925 . . 3 (𝜑𝑇𝑉)
31 mapdh8c.ut . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
32 mapdh8c.e . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
333, 5, 6, 22, 18, 25, 30, 31, 32lspexch 19877 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑇}))
3422adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑤})) → 𝑈 ∈ LVec)
3524adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑤})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3623adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑤})) → 𝑋𝑉)
3726adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑤})) → 𝑤𝑉)
38 mapdh8c.vw . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
3938adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑤})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
40 simpr 487 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑤})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑤}))
413, 5, 6, 34, 35, 36, 37, 39, 40lspexch 19877 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑤})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
4227, 41mtand 814 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑤}))
431, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 29, 33, 42mapdh8b 38952 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  Vcvv 3473  cdif 3910  ifcif 4443  {csn 4543  {cpr 4545  cotp 4551  cmpt 5122  cfv 6331  crio 7090  (class class class)co 7133  1st c1st 7665  2nd c2nd 7666  Basecbs 16462  0gc0g 16692  -gcsg 18084  LSpanclspn 19719  LVecclvec 19850  HLchlt 36522  LHypclh 37156  DVecHcdvh 38250  LCDualclcd 38758  mapdcmpd 38796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-riotaBAD 36125
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-ot 4552  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-tpos 7870  df-undef 7917  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-oppg 18453  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lsatoms 36148  df-lshyp 36149  df-lcv 36191  df-lfl 36230  df-lkr 36258  df-ldual 36296  df-oposet 36348  df-ol 36350  df-oml 36351  df-covers 36438  df-ats 36439  df-atl 36470  df-cvlat 36494  df-hlat 36523  df-llines 36670  df-lplanes 36671  df-lvols 36672  df-lines 36673  df-psubsp 36675  df-pmap 36676  df-padd 36968  df-lhyp 37160  df-laut 37161  df-ldil 37276  df-ltrn 37277  df-trl 37331  df-tgrp 37915  df-tendo 37927  df-edring 37929  df-dveca 38175  df-disoa 38201  df-dvech 38251  df-dib 38311  df-dic 38345  df-dih 38401  df-doch 38520  df-djh 38567  df-lcdual 38759  df-mapd 38797
This theorem is referenced by:  mapdh8d0N  38954  mapdh8d  38955
  Copyright terms: Public domain W3C validator