Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh7fN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh7fN 41734
Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (6 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh7.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh7.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh7.s = (-g𝑈)
mapdh7.o 0 = (0g𝑈)
mapdh7.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh7.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh7.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh7.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh7.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh7.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh7.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh7.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh7.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh7.x (𝜑𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.y (𝜑𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.z (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
mapdh7.wn (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
mapdh7a (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
mapdh7.b (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
mapdh7fN (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑣⟩) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,,   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐸,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐺,𝑥   0 ,,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑥,𝑄   𝑢,,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,,𝑥   𝑈,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐷(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑄(𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑅(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝐽(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑀(𝑤,𝑣,𝑢)   (𝑤,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   0 (𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem mapdh7fN
StepHypRef Expression
1 mapdh7.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh7.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh7.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh7.s . . 3 = (-g𝑈)
5 mapdh7.o . . 3 0 = (0g𝑈)
6 mapdh7.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh7.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh7.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh7.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
10 mapdh7.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
11 mapdh7.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh7.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh7.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 mapdh7.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdh7.f . . 3 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh7.mn . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdh7.x . . 3 (𝜑𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 mapdh7.y . . 3 (𝜑𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdh7.z . . 3 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20 mapdh7.ne . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
21 mapdh7.wn . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
22 mapdh7a . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
23 mapdh7.b . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23mapdh7dN 41733 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)
2518eldifad 3975 . . . . 5 (𝜑𝑣𝑉)
2610, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 25, 20mapdhcl 41710 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) ∈ 𝐷)
2722, 26eqeltrrd 2840 . . 3 (𝜑𝐺𝐷)
2810, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 27, 20mapdheq 41711 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 𝑣)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
2922, 28mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 𝑣)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
3029simpld 494 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐽‘{𝐺}))
3119eldifad 3975 . . . . 5 (𝜑𝑤𝑉)
321, 2, 14dvhlvec 41092 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
3317eldifad 3975 . . . . . . . 8 (𝜑𝑢𝑉)
343, 6, 32, 31, 33, 25, 21lspindpi 21152 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑢}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣})))
3534simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑢}))
3635necomd 2994 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
3710, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 31, 36mapdhcl 41710 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷)
3823, 37eqeltrrd 2840 . . 3 (𝜑𝐸𝐷)
3934simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
4039necomd 2994 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
4110, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 27, 30, 18, 19, 38, 40mapdheq2 41712 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑣⟩) = 𝐺))
4224, 41mpd 15 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑣⟩) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  ifcif 4531  {csn 4631  {cpr 4633  cotp 4639  cmpt 5231  cfv 6563  crio 7387  (class class class)co 7431  1st c1st 8011  2nd c2nd 8012  Basecbs 17245  0gc0g 17486  -gcsg 18966  LSpanclspn 20987  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  LCDualclcd 41569  mapdcmpd 41607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-nzr 20530  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lcv 39001  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378  df-lcdual 41570  df-mapd 41608
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator