Theorem mapdh7fN 40617

Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (6 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh7.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh7.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh7.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh7.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh7.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh7.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh7.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh7.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh7.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh7.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh7.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh7.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh7.x	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.y	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.z	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
mapdh7.wn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
mapdh7a	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
mapdh7.b	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
mapdh7fN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑣⟩) = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐸,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐺,𝑥   0 ,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑥,𝑄   𝑢,ℎ,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐷(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑄(𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝑅(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝐽(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝑀(𝑤,𝑣,𝑢)   − (𝑤,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   0 (𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem mapdh7fN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh7.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh7.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh7.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh7.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		mapdh7.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		mapdh7.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdh7.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh7.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		mapdh7.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		mapdh7.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		mapdh7.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdh7.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdh7.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		mapdh7.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdh7.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh7.mn	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdh7.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		mapdh7.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19		mapdh7.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20		mapdh7.ne	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
21		mapdh7.wn	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
22		mapdh7a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
23		mapdh7.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	mapdh7dN 40616	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)
25	18	eldifad 3960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
26	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 25, 20	mapdhcl 40593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) ∈ 𝐷)
27	22, 26	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
28	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 27, 20	mapdheq 40594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 − 𝑣)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
29	22, 28	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 − 𝑣)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
30	29	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐽‘{𝐺}))
31	19	eldifad 3960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
32	1, 2, 14	dvhlvec 39975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
33	17	eldifad 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
34	3, 6, 32, 31, 33, 25, 21	lspindpi 20744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑢}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣})))
35	34	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑢}))
36	35	necomd 2996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
37	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 31, 36	mapdhcl 40593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷)
38	23, 37	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐷)
39	34	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
40	39	necomd 2996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
41	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 27, 30, 18, 19, 38, 40	mapdheq2 40595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑣⟩) = 𝐺))
42	24, 41	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑣⟩) = 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630  ⟨cotp 4636   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  ℩crio 7363  (class class class)co 7408  1^st c1st 7972  2^nd c2nd 7973  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  -_gcsg 18820  LSpanclspn 20581  HLchlt 38215  LHypclh 38850  DVecHcdvh 39944  LCDualclcd 40452  mapdcmpd 40490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lsatoms 37841  df-lshyp 37842  df-lcv 37884  df-lfl 37923  df-lkr 37951  df-ldual 37989  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tgrp 39609  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-dveca 39869  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095  df-doch 40214  df-djh 40261  df-lcdual 40453  df-mapd 40491

This theorem is referenced by: (None)