Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8aa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8aa 38950
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 12-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8aa.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh8aa.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8aa.eg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8aa.ee (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh8aa.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8aa.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8aa.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8aa.zt (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8aa.t (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8aa.yn (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
mapdh8aa.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8aa (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐼   ,𝐺,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   ,𝐸,𝑥   ,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh8aa
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.s . . 3 = (-g𝑈)
5 mapdh8a.o . . 3 0 = (0g𝑈)
6 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh8a.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh8a.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh8a.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
10 mapdh8a.q . . 3 𝑄 = (0g𝐶)
11 mapdh8a.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh8a.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh8a.i . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 mapdh8a.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdh8aa.eg . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
16 mapdh8aa.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐷)
17 mapdh8aa.mn . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
18 mapdh8aa.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdh8aa.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2019eldifad 3922 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
211, 2, 14dvhlvec 38283 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2218eldifad 3922 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
23 mapdh8aa.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2423eldifad 3922 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
25 mapdh8aa.xn . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
263, 6, 21, 22, 20, 24, 25lspindpi 19879 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
2726simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2810, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 16, 17, 18, 20, 27mapdhcl 38901 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
2915, 28eqeltrrd 2913 . . 3 (𝜑𝐺𝐷)
3010, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 16, 17, 18, 19, 29, 27mapdheq 38902 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
3115, 30mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
3231simpld 498 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
33 mapdh8aa.ee . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
34 mapdh8aa.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3534eldifad 3922 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑉)
36 mapdh8aa.yn . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
373, 6, 21, 20, 24, 35, 36lspindpi 19879 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
3837simpld 498 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
391, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 15, 33, 38, 25, 18, 19, 23mapdh75d 38928 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑍⟩) = 𝐸)
40 mapdh8aa.zt . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
411, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 29, 32, 39, 19, 23, 40, 34, 36mapdh8a 38949 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩))
4241eqcomd 2827 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  Vcvv 3471  cdif 3907  ifcif 4440  {csn 4540  {cpr 4542  cotp 4548  cmpt 5119  cfv 6328  crio 7087  (class class class)co 7130  1st c1st 7662  2nd c2nd 7663  Basecbs 16461  0gc0g 16691  -gcsg 18083  LSpanclspn 19718  HLchlt 36524  LHypclh 37158  DVecHcdvh 38252  LCDualclcd 38760  mapdcmpd 38798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-riotaBAD 36127
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-ot 4549  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-undef 7914  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-0g 16693  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-proset 17516  df-poset 17534  df-plt 17546  df-lub 17562  df-glb 17563  df-join 17564  df-meet 17565  df-p0 17627  df-p1 17628  df-lat 17634  df-clat 17696  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-subg 18254  df-cntz 18425  df-oppg 18452  df-lsm 18739  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-oppr 19351  df-dvdsr 19369  df-unit 19370  df-invr 19400  df-dvr 19411  df-drng 19479  df-lmod 19611  df-lss 19679  df-lsp 19719  df-lvec 19850  df-lsatoms 36150  df-lshyp 36151  df-lcv 36193  df-lfl 36232  df-lkr 36260  df-ldual 36298  df-oposet 36350  df-ol 36352  df-oml 36353  df-covers 36440  df-ats 36441  df-atl 36472  df-cvlat 36496  df-hlat 36525  df-llines 36672  df-lplanes 36673  df-lvols 36674  df-lines 36675  df-psubsp 36677  df-pmap 36678  df-padd 36970  df-lhyp 37162  df-laut 37163  df-ldil 37278  df-ltrn 37279  df-trl 37333  df-tgrp 37917  df-tendo 37929  df-edring 37931  df-dveca 38177  df-disoa 38203  df-dvech 38253  df-dib 38313  df-dic 38347  df-dih 38403  df-doch 38522  df-djh 38569  df-lcdual 38761  df-mapd 38799
This theorem is referenced by:  mapdh8ab  38951
  Copyright terms: Public domain W3C validator