Theorem mapdh8d 42590

Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8d.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8b.eg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.xt	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.w	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.wt	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.ut	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.vw	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
mapdh8d.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh8d	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝑤,ℎ,𝑥   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑤)   𝐶(𝑥, 𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑄(𝑤, ℎ)   𝑅(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑥, 𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)   𝐻(𝑥, 𝑤, ℎ)   𝐼(𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥, 𝑤, ℎ)   𝑀(𝑤)   − (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥, 𝑤, ℎ)   𝑊(𝑥, 𝑤, ℎ)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem mapdh8d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		mapdh8a.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		mapdh8a.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdh8a.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh8a.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		mapdh8a.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		mapdh8a.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		mapdh8a.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdh8a.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdh8a.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		mapdh8a.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		mapdh8b.eg	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
17		mapdh8d.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
18		mapdh8d.mn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
19		mapdh8d.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20		mapdh8d.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	eldifad 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22	1, 2, 14	dvhlvec 41916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
23	19	eldifad 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		mapdh8d.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
25	24	eldifad 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
26		mapdh8d.xn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
27	3, 6, 22, 23, 21, 25, 26	lspindpi 21285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤})))
28	27	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 21, 28	mapdhcl 42534	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
30	16, 29	eqeltrrd 2866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐺 ∈ 𝐷)
32	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 30, 28	mapdheq 42535	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
33	16, 32	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
34	33	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
35	34	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
36		mapdh8d.vw	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 16, 19, 20, 36, 24, 26	mapdh8a 42582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
38	37	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
39	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
40	24	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41		mapdh8d.wt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
42	41	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
43		mapdh8d.xt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
44	43	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
45	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
46		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
47	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 31, 35, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 47	mapdh8b 42587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩))
49	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
50	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
51		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
52	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53		mapdh8d.yz	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
54	53	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
55		mapdh8d.ut	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
56	55	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
57	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 49, 50, 51, 52, 39, 44, 54, 40, 42, 56, 45, 46, 47	mapdh8c 42588	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
58	48, 57	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
59	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
60	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
61	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
62	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
63	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
64	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
65	53	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
66	43	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
67		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
68	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67	mapdh8a 42582	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
69	58, 68	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903  ifcif 4489  {csn 4591  {cpr 4593  ⟨cotp 4599   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  ℩crio 7372  (class class class)co 7416  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987  Basecbs 17286  0_gc0g 17509  -_gcsg 19025  LSpanclspn 21121  HLchlt 40157  LHypclh 40791  DVecHcdvh 41885  LCDualclcd 42393  mapdcmpd 42431

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-riotaBAD 39760

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-0g 17511  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-proset 18367  df-poset 18386  df-plt 18401  df-lub 18417  df-glb 18418  df-join 18419  df-meet 18420  df-p0 18496  df-p1 18497  df-lat 18505  df-clat 18572  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-subg 19212  df-cntz 19410  df-oppg 19439  df-lsm 19729  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-dvr 20508  df-nzr 20639  df-rlreg 20822  df-domn 20823  df-drng 20858  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-lvec 21253  df-lsatoms 39783  df-lshyp 39784  df-lcv 39826  df-lfl 39865  df-lkr 39893  df-ldual 39931  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-llines 40305  df-lplanes 40306  df-lvols 40307  df-lines 40308  df-psubsp 40310  df-pmap 40311  df-padd 40603  df-lhyp 40795  df-laut 40796  df-ldil 40911  df-ltrn 40912  df-trl 40966  df-tgrp 41550  df-tendo 41562  df-edring 41564  df-dveca 41810  df-disoa 41836  df-dvech 41886  df-dib 41946  df-dic 41980  df-dih 42036  df-doch 42155  df-djh 42202  df-lcdual 42394  df-mapd 42432

This theorem is used by:  mapdh8e  42591