Theorem mapdh8d 42043

Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8d.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8b.eg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.xt	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.w	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.wt	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.ut	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.vw	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
mapdh8d.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh8d	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝑤,ℎ,𝑥   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑄(𝑤,ℎ)   𝑅(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,ℎ)   𝐼(𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑀(𝑤)   − (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑊(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem mapdh8d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		mapdh8a.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		mapdh8a.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdh8a.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh8a.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		mapdh8a.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		mapdh8a.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		mapdh8a.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdh8a.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdh8a.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		mapdh8a.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		mapdh8b.eg	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
17		mapdh8d.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
18		mapdh8d.mn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
19		mapdh8d.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20		mapdh8d.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	eldifad 3913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22	1, 2, 14	dvhlvec 41369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
23	19	eldifad 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		mapdh8d.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
25	24	eldifad 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
26		mapdh8d.xn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
27	3, 6, 22, 23, 21, 25, 26	lspindpi 21087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤})))
28	27	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 21, 28	mapdhcl 41987	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
30	16, 29	eqeltrrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐺 ∈ 𝐷)
32	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 30, 28	mapdheq 41988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
33	16, 32	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
34	33	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
36		mapdh8d.vw	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 16, 19, 20, 36, 24, 26	mapdh8a 42035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
38	37	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
39	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
40	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41		mapdh8d.wt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
42	41	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
43		mapdh8d.xt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
44	43	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
45	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
46		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
47	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 31, 35, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 47	mapdh8b 42040	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩))
49	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
50	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
51		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
52	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53		mapdh8d.yz	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
54	53	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
55		mapdh8d.ut	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
56	55	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
57	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 49, 50, 51, 52, 39, 44, 54, 40, 42, 56, 45, 46, 47	mapdh8c 42041	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
58	48, 57	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
59	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
60	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
61	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
62	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
63	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
64	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
65	53	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
66	43	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
67		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
68	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67	mapdh8a 42035	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
69	58, 68	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  ifcif 4479  {csn 4580  {cpr 4582  ⟨cotp 4588   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  ℩crio 7314  (class class class)co 7358  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  -_gcsg 18865  LSpanclspn 20922  HLchlt 39610  LHypclh 40244  DVecHcdvh 41338  LCDualclcd 41846  mapdcmpd 41884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-riotaBAD 39213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-undef 8215  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-0g 17361  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-oppg 19275  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-nzr 20446  df-rlreg 20627  df-domn 20628  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055  df-lsatoms 39236  df-lshyp 39237  df-lcv 39279  df-lfl 39318  df-lkr 39346  df-ldual 39384  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-llines 39758  df-lplanes 39759  df-lvols 39760  df-lines 39761  df-psubsp 39763  df-pmap 39764  df-padd 40056  df-lhyp 40248  df-laut 40249  df-ldil 40364  df-ltrn 40365  df-trl 40419  df-tgrp 41003  df-tendo 41015  df-edring 41017  df-dveca 41263  df-disoa 41289  df-dvech 41339  df-dib 41399  df-dic 41433  df-dih 41489  df-doch 41608  df-djh 41655  df-lcdual 41847  df-mapd 41885

This theorem is referenced by:  mapdh8e  42044