Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8d 40184
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8d.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh8d.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8b.eg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8d.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.xt (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.w (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.wt (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.ut (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.vw (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
mapdh8d.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8d (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐼   ,𝐺,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝑤,,𝑥   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑄(𝑤,)   𝑅(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,)   𝐼(𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,)   𝑀(𝑤)   (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,)   𝑊(𝑥,𝑤,)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem mapdh8d
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.s . . . 4 = (-g𝑈)
5 mapdh8a.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
6 mapdh8a.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh8a.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh8a.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh8a.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
10 mapdh8a.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
11 mapdh8a.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh8a.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh8a.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 mapdh8a.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1514adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 mapdh8b.eg . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
17 mapdh8d.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐷)
18 mapdh8d.mn . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
19 mapdh8d.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20 mapdh8d.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2120eldifad 3920 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
221, 2, 14dvhlvec 39510 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2319eldifad 3920 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
24 mapdh8d.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2524eldifad 3920 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑤𝑉)
26 mapdh8d.xn . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
273, 6, 22, 23, 21, 25, 26lspindpi 20546 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤})))
2827simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2910, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 21, 28mapdhcl 40128 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
3016, 29eqeltrrd 2839 . . . . 5 (𝜑𝐺𝐷)
3130adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐺𝐷)
3210, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 30, 28mapdheq 40129 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
3316, 32mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
3433simpld 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
3534adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
36 mapdh8d.vw . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 16, 19, 20, 36, 24, 26mapdh8a 40176 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
3837adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
3920adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4024adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41 mapdh8d.wt . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
4241adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
43 mapdh8d.xt . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4443adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4536adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
46 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
4726adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 31, 35, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 47mapdh8b 40181 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩))
4917adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐹𝐷)
5018adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
51 eqidd 2738 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
5219adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53 mapdh8d.yz . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
5453adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
55 mapdh8d.ut . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
5655adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 49, 50, 51, 52, 39, 44, 54, 40, 42, 56, 45, 46, 47mapdh8c 40182 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
5848, 57eqtr3d 2779 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
5914adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6017adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐹𝐷)
6118adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
6216adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
6319adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6420adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6553adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
6643adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
67 simpr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67mapdh8a 40176 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
6958, 68pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  Vcvv 3443  cdif 3905  ifcif 4484  {csn 4584  {cpr 4586  cotp 4592  cmpt 5186  cfv 6493  crio 7306  (class class class)co 7351  1st c1st 7911  2nd c2nd 7912  Basecbs 17043  0gc0g 17281  -gcsg 18710  LSpanclspn 20385  HLchlt 37750  LHypclh 38385  DVecHcdvh 39479  LCDualclcd 39987  mapdcmpd 40025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 37353
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-undef 8196  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-0g 17283  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-proset 18144  df-poset 18162  df-plt 18179  df-lub 18195  df-glb 18196  df-join 18197  df-meet 18198  df-p0 18274  df-p1 18275  df-lat 18281  df-clat 18348  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-subg 18884  df-cntz 19056  df-oppg 19083  df-lsm 19377  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-drng 20140  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-lsp 20386  df-lvec 20517  df-lsatoms 37376  df-lshyp 37377  df-lcv 37419  df-lfl 37458  df-lkr 37486  df-ldual 37524  df-oposet 37576  df-ol 37578  df-oml 37579  df-covers 37666  df-ats 37667  df-atl 37698  df-cvlat 37722  df-hlat 37751  df-llines 37899  df-lplanes 37900  df-lvols 37901  df-lines 37902  df-psubsp 37904  df-pmap 37905  df-padd 38197  df-lhyp 38389  df-laut 38390  df-ldil 38505  df-ltrn 38506  df-trl 38560  df-tgrp 39144  df-tendo 39156  df-edring 39158  df-dveca 39404  df-disoa 39430  df-dvech 39480  df-dib 39540  df-dic 39574  df-dih 39630  df-doch 39749  df-djh 39796  df-lcdual 39988  df-mapd 40026
This theorem is referenced by:  mapdh8e  40185
  Copyright terms: Public domain W3C validator