Theorem mapdh8d 42820

Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8d.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8b.eg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.xt	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.w	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8d.wt	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.ut	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8d.vw	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
mapdh8d.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh8d	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝑤,ℎ,𝑥   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑤)   𝐶(𝑥, 𝑤)   𝐷(𝑤)   𝑄(𝑤, ℎ)   𝑅(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑥, 𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)   𝐻(𝑥, 𝑤, ℎ)   𝐼(𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥, 𝑤, ℎ)   𝑀(𝑤)   − (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥, 𝑤, ℎ)   𝑊(𝑥, 𝑤, ℎ)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem mapdh8d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		mapdh8a.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		mapdh8a.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdh8a.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh8a.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		mapdh8a.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		mapdh8a.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		mapdh8a.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdh8a.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdh8a.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		mapdh8a.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		mapdh8b.eg	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
17		mapdh8d.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
18		mapdh8d.mn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
19		mapdh8d.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20		mapdh8d.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	eldifad 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
22	1, 2, 14	dvhlvec 42146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
23	19	eldifad 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		mapdh8d.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
25	24	eldifad 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
26		mapdh8d.xn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
27	3, 6, 22, 23, 21, 25, 26	lspindpi 21403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑤})))
28	27	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 21, 28	mapdhcl 42764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
30	16, 29	eqeltrrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐺 ∈ 𝐷)
32	10, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 30, 28	mapdheq 42765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
33	16, 32	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
34	33	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
35	34	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
36		mapdh8d.vw	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 16, 19, 20, 36, 24, 26	mapdh8a 42812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
38	37	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
39	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
40	24	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41		mapdh8d.wt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
42	41	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
43		mapdh8d.xt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
44	43	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
45	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
46		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
47	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 31, 35, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 47	mapdh8b 42817	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩))
49	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
50	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
51		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
52	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
53		mapdh8d.yz	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
54	53	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
55		mapdh8d.ut	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
56	55	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
57	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 49, 50, 51, 52, 39, 44, 54, 40, 42, 56, 45, 46, 47	mapdh8c 42818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑤, (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩), 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
58	48, 57	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
59	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
60	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
61	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
62	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
63	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
64	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
65	53	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
66	43	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
67		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
68	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67	mapdh8a 42812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
69	58, 68	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  ifcif 4482  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cotp 4592   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  ℩crio 7374  (class class class)co 7418  1^st c1st 7997  2^nd c2nd 7998  Basecbs 17380  0_gc0g 17603  -_gcsg 19139  LSpanclspn 21239  HLchlt 40387  LHypclh 41021  DVecHcdvh 42115  LCDualclcd 42623  mapdcmpd 42661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-riotaBAD 39990

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-undef 8283  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-0g 17605  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-proset 18461  df-poset 18480  df-plt 18495  df-lub 18511  df-glb 18512  df-join 18513  df-meet 18514  df-p0 18590  df-p1 18591  df-lat 18599  df-clat 18666  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-subg 19326  df-cntz 19524  df-oppg 19553  df-lsm 19843  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-dvr 20624  df-nzr 20756  df-rlreg 20939  df-domn 20940  df-drng 20975  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-lvec 21371  df-lsatoms 40013  df-lshyp 40014  df-lcv 40056  df-lfl 40095  df-lkr 40123  df-ldual 40161  df-oposet 40213  df-ol 40215  df-oml 40216  df-covers 40303  df-ats 40304  df-atl 40335  df-cvlat 40359  df-hlat 40388  df-llines 40535  df-lplanes 40536  df-lvols 40537  df-lines 40538  df-psubsp 40540  df-pmap 40541  df-padd 40833  df-lhyp 41025  df-laut 41026  df-ldil 41141  df-ltrn 41142  df-trl 41196  df-tgrp 41780  df-tendo 41792  df-edring 41794  df-dveca 42040  df-disoa 42066  df-dvech 42116  df-dib 42176  df-dic 42210  df-dih 42266  df-doch 42385  df-djh 42432  df-lcdual 42624  df-mapd 42662

This theorem is used by:  mapdh8e  42821