Theorem mapdh7eN 42214

Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (5 of 6 cases). (Note: 1 of 6 and 2 of 6 are hypotheses a and b.) (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh7.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh7.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh7.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh7.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh7.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh7.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh7.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh7.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh7.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh7.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh7.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh7.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh7.x	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.y	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.z	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
mapdh7.wn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
mapdh7b	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
mapdh7eN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑢⟩) = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐸,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   0 ,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑥,𝑄   𝑢,ℎ,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐷(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑄(𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝑅(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝐽(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝑀(𝑤,𝑣,𝑢)   − (𝑤,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   0 (𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem mapdh7eN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh7b	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
2		mapdh7.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
3		mapdh7.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
4		mapdh7.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		mapdh7.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdh7.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdh7.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		mapdh7.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
9		mapdh7.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
10		mapdh7.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11		mapdh7.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12		mapdh7.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
13		mapdh7.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
14		mapdh7.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
15		mapdh7.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		mapdh7.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
17		mapdh7.mn	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
18		mapdh7.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19		mapdh7.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	19	eldifad 3902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
21	4, 6, 15	dvhlvec 41575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
22	18	eldifad 3902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
23		mapdh7.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24	23	eldifad 3902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
25		mapdh7.wn	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
26	7, 10, 21, 20, 22, 24, 25	lspindpi 21126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑢}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣})))
27	26	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑢}))
28	27	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
29	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 28	mapdhcl 42193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) ∈ 𝐷)
30	1, 29	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐷)
31	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 30, 28	mapdheq2 42195	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑢⟩) = 𝐹))
32	1, 31	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑤, 𝐸, 𝑢⟩) = 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  ifcif 4467  {csn 4568  {cpr 4570  ⟨cotp 4576   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6494  ℩crio 7318  (class class class)co 7362  1^st c1st 7935  2^nd c2nd 7936  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  -_gcsg 18906  LSpanclspn 20961  HLchlt 39816  LHypclh 40450  DVecHcdvh 41544  LCDualclcd 42052  mapdcmpd 42090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-riotaBAD 39419

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-tpos 8171  df-undef 8218  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-0g 17399  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cntz 19287  df-oppg 19316  df-lsm 19606  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-nzr 20485  df-rlreg 20666  df-domn 20667  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21094  df-lsatoms 39442  df-lshyp 39443  df-lcv 39485  df-lfl 39524  df-lkr 39552  df-ldual 39590  df-oposet 39642  df-ol 39644  df-oml 39645  df-covers 39732  df-ats 39733  df-atl 39764  df-cvlat 39788  df-hlat 39817  df-llines 39964  df-lplanes 39965  df-lvols 39966  df-lines 39967  df-psubsp 39969  df-pmap 39970  df-padd 40262  df-lhyp 40454  df-laut 40455  df-ldil 40570  df-ltrn 40571  df-trl 40625  df-tgrp 41209  df-tendo 41221  df-edring 41223  df-dveca 41469  df-disoa 41495  df-dvech 41545  df-dib 41605  df-dic 41639  df-dih 41695  df-doch 41814  df-djh 41861  df-lcdual 42053  df-mapd 42091

This theorem is referenced by: (None)