Theorem dvmptneg 25907

Description: Function-builder for derivative, product rule for negatives. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptadd.da	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
dvmptneg	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ -𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ -𝐵))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvmptadd.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		dvmptadd.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		dvmptadd.da	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
5		neg1cn 12346	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
7	1, 2, 3, 4, 6	dvmptcmul 25905	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (-1 · 𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (-1 · 𝐵)))
8	2	mulm1d 11681	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
9	8	mpteq2dva 5211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (-1 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ -𝐴))
10	9	oveq2d 7415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (-1 · 𝐴))) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ -𝐴)))
11	1, 2, 3, 4	dvmptcl 25900	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	mulm1d 11681	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
13	12	mpteq2dva 5211	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (-1 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ -𝐵))
14	7, 10, 13	3eqtr3d 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ -𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ -𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cpr 4601   ↦ cmpt 5198  (class class class)co 7399  ℂcc 11119  ℝcr 11120  1c1 11122   · cmul 11126  -cneg 11459   D cdv 25801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199  ax-addf 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8154  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-er 8713  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9368  df-fi 9417  df-sup 9448  df-inf 9449  df-oi 9516  df-card 9945  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13120  df-xadd 13121  df-xmul 13122  df-icc 13360  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14337  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-starv 17271  df-sca 17272  df-vsca 17273  df-ip 17274  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-unif 17279  df-hom 17280  df-cco 17281  df-rest 17421  df-topn 17422  df-0g 17440  df-gsum 17441  df-topgen 17442  df-pt 17443  df-prds 17446  df-xrs 17501  df-qtop 17506  df-imas 17507  df-xps 17509  df-mre 17583  df-mrc 17584  df-acs 17586  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19036  df-cntz 19285  df-cmn 19748  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22817  df-topon 22834  df-topsp 22856  df-bases 22869  df-cld 22942  df-ntr 22943  df-cls 22944  df-nei 23021  df-lp 23059  df-perf 23060  df-cn 23150  df-cnp 23151  df-haus 23238  df-tx 23485  df-hmeo 23678  df-fil 23769  df-fm 23861  df-flim 23862  df-flf 23863  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24807  df-limc 25804  df-dv 25805

This theorem is referenced by:  dvmptsub  25908  dvsincos  25922  rolle  25931  dvivth  25952  lhop2  25957  dvfsumge  25965  dvfsum2  25978  logtayl  26605  logccv  26608  fdvneggt  34553  fdvnegge  34555  redvmptabs  42328  expgrowth  44285  itgsin0pilem1  45909  itgsinexplem1  45913  itgsincmulx  45933  fourierdlem39  46105  etransclem46  46239