Theorem nellindf 50868

Description: A nonzero coefficient vector whose weighted combination of 𝐹 sums to the zero vector implies that 𝐹 is not linearly independent. (Contributed by Jiamin Zhao, 27-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
nellindf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
nellindf.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
nellindf.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nellindf.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
nellindf.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
nellindf.l	⊢ 𝐿 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
nellindf	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → ¬ 𝐹 LIndF 𝑊)

Proof of Theorem nellindf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}))
2	1	neneqd 2960	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → ¬ 𝐾 = (𝐼 × {𝑌}))
3		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )
4		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → 𝐾 ∈ 𝐿)
5		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∘f · 𝐹) = (𝐾 ∘f · 𝐹))
6	5	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)))
7	6	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 ↔ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 ))
8		eqeq1 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 = (𝐼 × {𝑌}) ↔ 𝐾 = (𝐼 × {𝑌})))
9	7, 8	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ((𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝐾 = (𝐼 × {𝑌}))))
10	9	rspcv 3572	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐿 → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) → ((𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝐾 = (𝐼 × {𝑌}))))
11	4, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) → ((𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝐾 = (𝐼 × {𝑌}))))
12	3, 11	mpid 45	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) → 𝐾 = (𝐼 × {𝑌})))
13	2, 12	mtod 201	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})))
14		nellindf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
15		nellindf.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
16		nellindf.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		nellindf.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
18		nellindf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
19		nellindf.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
20	14, 15, 16, 17, 18, 19	islindf4 22083	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌}))))
21	20	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌}))))
22	13, 21	mtbird 328	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → ¬ 𝐹 LIndF 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5653  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7682  Basecbs 17326  Scalarcsca 17370   ·_𝑠 cvsca 17371  0_gc0g 17549   Σ_g cgsu 17550  LModclmod 21074   freeLMod cfrlm 21991   LIndF clindf 22049

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-sup 9419  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-seq 14091  df-hash 14420  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-hom 17391  df-cco 17392  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-prds 17557  df-pws 17559  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-submnd 18918  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-mulg 19217  df-subg 19272  df-ghm 19367  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-nzr 20702  df-subrg 20761  df-lmod 21076  df-lss 21146  df-lsp 21186  df-lmhm 21236  df-lbs 21289  df-sra 21387  df-rgmod 21388  df-dsmm 21977  df-frlm 21992  df-uvc 22028  df-lindf 22051

This theorem is used by:  veroquadnolindfd  50883