Theorem nellindf 50785

Description: A nonzero coefficient vector whose weighted combination of 𝐹 sums to the zero vector implies that 𝐹 is not linearly independent. (Contributed by Jiamin Zhao, 27-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
nellindf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
nellindf.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
nellindf.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nellindf.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
nellindf.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
nellindf.l	⊢ 𝐿 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
nellindf	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → ¬ 𝐹 LIndF 𝑊)

Proof of Theorem nellindf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}))
2	1	neneqd 2962	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → ¬ 𝐾 = (𝐼 × {𝑌}))
3		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )
4		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → 𝐾 ∈ 𝐿)
5		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∘f · 𝐹) = (𝐾 ∘f · 𝐹))
6	5	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)))
7	6	eqeq1d 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 ↔ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 ))
8		eqeq1 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 = (𝐼 × {𝑌}) ↔ 𝐾 = (𝐼 × {𝑌})))
9	7, 8	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ((𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝐾 = (𝐼 × {𝑌}))))
10	9	rspcv 3575	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐿 → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) → ((𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝐾 = (𝐼 × {𝑌}))))
11	4, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) → ((𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝐾 = (𝐼 × {𝑌}))))
12	3, 11	mpid 45	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) → 𝐾 = (𝐼 × {𝑌})))
13	2, 12	mtod 201	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})))
14		nellindf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
15		nellindf.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
16		nellindf.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		nellindf.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
18		nellindf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
19		nellindf.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
20	14, 15, 16, 17, 18, 19	islindf4 22050	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌}))))
21	20	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌}))))
22	13, 21	mtbird 328	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → ¬ 𝐹 LIndF 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  Vcvv 3453  {csn 4587   class class class wbr 5107   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679  Basecbs 17303  Scalarcsca 17347   ·_𝑠 cvsca 17348  0_gc0g 17526   Σ_g cgsu 17527  LModclmod 21043   freeLMod cfrlm 21958   LIndF clindf 22016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-ghm 19340  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-nzr 20672  df-subrg 20731  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-lsp 21155  df-lmhm 21205  df-lbs 21258  df-sra 21356  df-rgmod 21357  df-dsmm 21944  df-frlm 21959  df-uvc 21995  df-lindf 22018

This theorem is used by:  veroquadnolindfd  50800