Theorem nellindf 50803

Description: A nonzero coefficient vector whose weighted combination of 𝐹 sums to the zero vector implies that 𝐹 is not linearly independent. (Contributed by Jiamin Zhao, 27-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
nellindf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
nellindf.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
nellindf.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nellindf.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
nellindf.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
nellindf.l	⊢ 𝐿 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
nellindf	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → ¬ 𝐹 LIndF 𝑊)

Proof of Theorem nellindf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}))
2	1	neneqd 2960	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → ¬ 𝐾 = (𝐼 × {𝑌}))
3		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )
4		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → 𝐾 ∈ 𝐿)
5		oveq1 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∘f · 𝐹) = (𝐾 ∘f · 𝐹))
6	5	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)))
7	6	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 ↔ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 ))
8		eqeq1 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 = (𝐼 × {𝑌}) ↔ 𝐾 = (𝐼 × {𝑌})))
9	7, 8	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) ↔ ((𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝐾 = (𝐼 × {𝑌}))))
10	9	rspcv 3572	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐿 → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) → ((𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝐾 = (𝐼 × {𝑌}))))
11	4, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) → ((𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝐾 = (𝐼 × {𝑌}))))
12	3, 11	mpid 45	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})) → 𝐾 = (𝐼 × {𝑌})))
13	2, 12	mtod 201	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌})))
14		nellindf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
15		nellindf.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
16		nellindf.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		nellindf.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
18		nellindf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑅)
19		nellindf.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
20	14, 15, 16, 17, 18, 19	islindf4 22051	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌}))))
21	20	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 ((𝑊 Σg (𝑥 ∘f · 𝐹)) = 0 → 𝑥 = (𝐼 × {𝑌}))))
22	13, 21	mtbird 328	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ V ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝐿 ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 × {𝑌}) ∧ (𝑊 Σg (𝐾 ∘f · 𝐹)) = 0 )) → ¬ 𝐹 LIndF 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5653  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∘_f cof 7676  Basecbs 17301  Scalarcsca 17345   ·_𝑠 cvsca 17346  0_gc0g 17524   Σ_g cgsu 17525  LModclmod 21044   freeLMod cfrlm 21959   LIndF clindf 22017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-nzr 20673  df-subrg 20732  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-lmhm 21206  df-lbs 21259  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-dsmm 21945  df-frlm 21960  df-uvc 21996  df-lindf 22019

This theorem is used by:  veroquadnolindfd  50818