Theorem nmbdoplb 30415

Description: A lower bound for the norm of a bounded linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmbdoplb	⊢ ((𝑇 ∈ BndLinOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Proof of Theorem nmbdoplb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6791	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop ) → (𝑇‘𝐴) = (if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop )‘𝐴))
2	1	fveq2d 6796	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) = (normℎ‘(if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop )‘𝐴)))
3		fveq2 6792	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop ) → (normop‘𝑇) = (normop‘if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop )))
4	3	oveq1d 7310	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop ) → ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) = ((normop‘if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop )) · (normℎ‘𝐴)))
5	2, 4	breq12d 5090	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)) ↔ (normℎ‘(if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop )‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop )) · (normℎ‘𝐴))))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop ) → ((𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))) ↔ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop )‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop )) · (normℎ‘𝐴)))))
7		0bdop 30383	. . . . 5 ⊢ 0hop ∈ BndLinOp
8	7	elimel 4531	. . . 4 ⊢ if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop ) ∈ BndLinOp
9	8	nmbdoplbi 30414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop )‘𝐴)) ≤ ((normop‘if(𝑇 ∈ BndLinOp, 𝑇, 0hop )) · (normℎ‘𝐴)))
10	6, 9	dedth 4520	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴))))
11	10	imp 406	1 ⊢ ((𝑇 ∈ BndLinOp ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((normop‘𝑇) · (normℎ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  ifcif 4462   class class class wbr 5077  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295   · cmul 10904   ≤ cle 11038   ℋchba 29309  norm_ℎcno 29313   0_hop ch0o 29333  norm_opcnop 29335  BndLinOpcbo 29338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-inf2 9427  ax-cc 10219  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977  ax-addf 10978  ax-mulf 10979  ax-hilex 29389  ax-hfvadd 29390  ax-hvcom 29391  ax-hvass 29392  ax-hv0cl 29393  ax-hvaddid 29394  ax-hfvmul 29395  ax-hvmulid 29396  ax-hvmulass 29397  ax-hvdistr1 29398  ax-hvdistr2 29399  ax-hvmul0 29400  ax-hfi 29469  ax-his1 29472  ax-his2 29473  ax-his3 29474  ax-his4 29475  ax-hcompl 29592

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-iin 4930  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-of 7553  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-supp 7998  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-2o 8318  df-oadd 8321  df-omul 8322  df-er 8518  df-map 8637  df-pm 8638  df-ixp 8706  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-fsupp 9157  df-fi 9198  df-sup 9229  df-inf 9230  df-oi 9297  df-card 9725  df-acn 9728  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-q 12717  df-rp 12759  df-xneg 12876  df-xadd 12877  df-xmul 12878  df-ioo 13111  df-ico 13113  df-icc 13114  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-fl 13540  df-seq 13750  df-exp 13811  df-hash 14073  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-clim 15225  df-rlim 15226  df-sum 15426  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-starv 17005  df-sca 17006  df-vsca 17007  df-ip 17008  df-tset 17009  df-ple 17010  df-ds 17012  df-unif 17013  df-hom 17014  df-cco 17015  df-rest 17161  df-topn 17162  df-0g 17180  df-gsum 17181  df-topgen 17182  df-pt 17183  df-prds 17186  df-xrs 17241  df-qtop 17246  df-imas 17247  df-xps 17249  df-mre 17323  df-mrc 17324  df-acs 17326  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-submnd 18459  df-mulg 18729  df-cntz 18951  df-cmn 19416  df-psmet 20617  df-xmet 20618  df-met 20619  df-bl 20620  df-mopn 20621  df-fbas 20622  df-fg 20623  df-cnfld 20626  df-top 22071  df-topon 22088  df-topsp 22110  df-bases 22124  df-cld 22198  df-ntr 22199  df-cls 22200  df-nei 22277  df-cn 22406  df-cnp 22407  df-lm 22408  df-haus 22494  df-tx 22741  df-hmeo 22934  df-fil 23025  df-fm 23117  df-flim 23118  df-flf 23119  df-xms 23501  df-ms 23502  df-tms 23503  df-cfil 24447  df-cau 24448  df-cmet 24449  df-grpo 28883  df-gid 28884  df-ginv 28885  df-gdiv 28886  df-ablo 28935  df-vc 28949  df-nv 28982  df-va 28985  df-ba 28986  df-sm 28987  df-0v 28988  df-vs 28989  df-nmcv 28990  df-ims 28991  df-dip 29091  df-ssp 29112  df-ph 29203  df-cbn 29253  df-hnorm 29358  df-hba 29359  df-hvsub 29361  df-hlim 29362  df-hcau 29363  df-sh 29597  df-ch 29611  df-oc 29642  df-ch0 29643  df-shs 29698  df-pjh 29785  df-h0op 30138  df-nmop 30229  df-lnop 30231  df-bdop 30232  df-hmop 30234

This theorem is referenced by:  lnopcnbd  30426  leopnmid  30528