Theorem nmoleub2b 24999

Description: The operator norm is the supremum of the value of a linear operator in the open unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoleub2.n	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2a.5	⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
nmoleub2b	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem nmoleub2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoleub2.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2		nmoleub2.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		nmoleub2.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
4		nmoleub2.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
5		nmoleub2.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
6		nmoleub2.w	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
7		nmoleub2.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
8		nmoleub2.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
9		nmoleub2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10		nmoleub2.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
11		nmoleub2.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
12		nmoleub2a.5	. 2 ⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
13		ltle 11192	. 2 ⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
14		idd 24	. 2 ⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → (𝐿‘𝑥) < 𝑅))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	nmoleub2lem2 24997	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5088  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  ℝcr 10996  ℝ^*cxr 11136   < clt 11137   ≤ cle 11138   / cdiv 11765  ℚcq 12837  ℝ⁺crp 12881  Basecbs 17107  Scalarcsca 17151   LMHom clmhm 20907  normcnm 24445  NrmModcnlm 24449   normOp cnmo 24574  ℂModcclm 24943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075  ax-addf 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-sup 9320  df-inf 9321  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-xneg 13002  df-xadd 13003  df-xmul 13004  df-ico 13242  df-fz 13399  df-seq 13897  df-exp 13957  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-0g 17332  df-topgen 17334  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-grp 18802  df-subg 18989  df-ghm 19079  df-cmn 19648  df-mgp 20013  df-ring 20107  df-cring 20108  df-subrg 20439  df-lmod 20749  df-lmhm 20910  df-psmet 21237  df-xmet 21238  df-met 21239  df-bl 21240  df-mopn 21241  df-cnfld 21246  df-top 22763  df-topon 22780  df-topsp 22802  df-bases 22815  df-xms 24189  df-ms 24190  df-nm 24451  df-ngp 24452  df-nlm 24455  df-nmo 24577  df-nghm 24578  df-clm 24944

This theorem is referenced by:  nmhmcn  25001