MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmpar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmpar 24532
Description: A subcomplex pre-Hilbert space satisfies the parallelogram law. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpar.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmpar.p + = (+g𝑊)
nmpar.m = (-g𝑊)
nmpar.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmpar ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))

Proof of Theorem nmpar
StepHypRef Expression
1 nmpar.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 nmpar.p . 2 + = (+g𝑊)
3 nmpar.m . 2 = (-g𝑊)
4 nmpar.n . 2 𝑁 = (norm‘𝑊)
5 eqid 2738 . 2 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
6 eqid 2738 . 2 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7 eqid 2738 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8 simp1 1137 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
9 simp2 1138 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
10 simp3 1139 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10nmparlem 24531 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6492  (class class class)co 7350   + caddc 10988   · cmul 10990  2c2 12142  cexp 13897  Basecbs 17019  +gcplusg 17069  Scalarcsca 17072  ·𝑖cip 17074  -gcsg 18686  normcnm 23860  ℂPreHilccph 24458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-tpos 8125  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-rp 12846  df-fz 13355  df-seq 13837  df-exp 13898  df-cj 14919  df-re 14920  df-im 14921  df-sqrt 15055  df-abs 15056  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-starv 17084  df-sca 17085  df-vsca 17086  df-ip 17087  df-tset 17088  df-ple 17089  df-ds 17091  df-unif 17092  df-0g 17259  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-mhm 18537  df-grp 18687  df-minusg 18688  df-sbg 18689  df-subg 18860  df-ghm 18941  df-cmn 19499  df-abl 19500  df-mgp 19832  df-ur 19849  df-ring 19896  df-cring 19897  df-oppr 19978  df-dvdsr 19999  df-unit 20000  df-rnghom 20075  df-drng 20116  df-subrg 20149  df-staf 20233  df-srng 20234  df-lmod 20253  df-lmhm 20412  df-lvec 20493  df-sra 20562  df-rgmod 20563  df-cnfld 20726  df-phl 20959  df-nlm 23870  df-clm 24354  df-cph 24460
This theorem is referenced by:  minveclem2  24718
  Copyright terms: Public domain W3C validator