Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmate Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmate 21195
 Description: An entry of an 𝑁 x 𝑁 scalar matrix over the ring 𝑅. (Contributed by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatmat.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatmat.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmate.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmate.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmate (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ∃𝑐𝐾 (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 ))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐   𝐼,𝑐   𝐽,𝑐   𝐾,𝑐   𝑆,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   0 (𝑐)

Proof of Theorem scmate
StepHypRef Expression
1 scmate.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 scmatmat.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatmat.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2759 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 eqid 2759 . . . 4 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
6 scmatmat.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 21191 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) → ∃𝑐𝐾 𝑀 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
8 oveq 7149 . . . . . . 7 (𝑀 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) = (𝐼(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝐽))
9 simpll1 1210 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
10 simpll2 1211 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
11 simpr 489 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑐𝐾)
12 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ 𝑐𝐾) → (𝐼𝑁𝐽𝑁))
13 scmate.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
142, 1, 13, 4, 5scmatscmide 21192 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 ))
159, 10, 11, 12, 14syl31anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ 𝑐𝐾) → (𝐼(𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 ))
168, 15sylan9eqr 2816 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑀 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 ))
1716ex 417 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑀 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 )))
1817reximdva 3196 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (∃𝑐𝐾 𝑀 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → ∃𝑐𝐾 (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 )))
1918ex 417 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) → ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → (∃𝑐𝐾 𝑀 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → ∃𝑐𝐾 (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 ))))
207, 19mpid 44 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) → ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → ∃𝑐𝐾 (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 )))
2120imp 411 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝑆) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ∃𝑐𝐾 (𝐼𝑀𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 𝑐, 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3069  ifcif 4413  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  Fincfn 8520  Basecbs 16526   ·𝑠 cvsca 16612  0gc0g 16756  1rcur 19304  Ringcrg 19350   Mat cmat 21092   ScMat cscmat 21174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-ot 4524  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-iin 4879  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-se 5477  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-of 7398  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-ixp 8473  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-fsupp 8852  df-sup 8924  df-oi 8992  df-card 9386  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-seq 13404  df-hash 13726  df-struct 16528  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-ip 16626  df-tset 16627  df-ple 16628  df-ds 16630  df-hom 16632  df-cco 16633  df-0g 16758  df-gsum 16759  df-prds 16764  df-pws 16766  df-mre 16900  df-mrc 16901  df-acs 16903  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-mhm 18007  df-submnd 18008  df-grp 18157  df-minusg 18158  df-sbg 18159  df-mulg 18277  df-subg 18328  df-ghm 18408  df-cntz 18499  df-cmn 18960  df-abl 18961  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ring 19352  df-subrg 19586  df-lmod 19689  df-lss 19757  df-sra 19997  df-rgmod 19998  df-dsmm 20482  df-frlm 20497  df-mamu 21071  df-mat 21093  df-scmat 21176 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator