MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmate Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmate 22234
Description: An entry of an ๐‘ x ๐‘ scalar matrix over the ring ๐‘…. (Contributed by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatmat.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
scmatmat.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
scmatmat.s ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
scmate.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
scmate.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
scmate (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ (๐ผ๐‘€๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘, 0 ))
Distinct variable groups:   ๐‘€,๐‘   ๐‘,๐‘   ๐‘…,๐‘   ๐ผ,๐‘   ๐ฝ,๐‘   ๐พ,๐‘   ๐‘†,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘)   ๐ต(๐‘)   0 (๐‘)

Proof of Theorem scmate
StepHypRef Expression
1 scmate.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
2 scmatmat.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 scmatmat.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 eqid 2730 . . . 4 (1rโ€˜๐ด) = (1rโ€˜๐ด)
5 eqid 2730 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜๐ด) = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
6 scmatmat.s . . . 4 ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 22230 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)))
8 oveq 7419 . . . . . . 7 (๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ผ๐‘€๐ฝ) = (๐ผ(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐ฝ))
9 simpll1 1210 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
10 simpll2 1211 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
11 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
12 simplr 765 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘))
13 scmate.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gโ€˜๐‘…)
142, 1, 13, 4, 5scmatscmide 22231 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐ผ(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘, 0 ))
159, 10, 11, 12, 14syl31anc 1371 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐ผ(๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘, 0 ))
168, 15sylan9eqr 2792 . . . . . 6 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ผ๐‘€๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘, 0 ))
1716ex 411 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ผ๐‘€๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘, 0 )))
1817reximdva 3166 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ (๐ผ๐‘€๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘, 0 )))
1918ex 411 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ (๐ผ๐‘€๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘, 0 ))))
207, 19mpid 44 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ (๐ผ๐‘€๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘, 0 )))
2120imp 405 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ (๐ผ๐‘€๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐‘, 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068  ifcif 4529  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Fincfn 8943  Basecbs 17150   ยท๐‘  cvsca 17207  0gc0g 17391  1rcur 20077  Ringcrg 20129   Mat cmat 22129   ScMat cscmat 22213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14297  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-ghm 19130  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-subrg 20461  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-dsmm 21508  df-frlm 21523  df-mamu 22108  df-mat 22130  df-scmat 22215
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator