![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > scmate | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An entry of an ๐ x ๐ scalar matrix over the ring ๐ . (Contributed by AV, 18-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
scmatmat.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
scmatmat.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
scmatmat.s | โข ๐ = (๐ ScMat ๐ ) |
scmate.k | โข ๐พ = (Baseโ๐ ) |
scmate.0 | โข 0 = (0gโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
scmate | โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐) โง (๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐)) โ โ๐ โ ๐พ (๐ผ๐๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐, 0 )) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | scmate.k | . . . 4 โข ๐พ = (Baseโ๐ ) | |
2 | scmatmat.a | . . . 4 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
3 | scmatmat.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
4 | eqid 2730 | . . . 4 โข (1rโ๐ด) = (1rโ๐ด) | |
5 | eqid 2730 | . . . 4 โข ( ยท๐ โ๐ด) = ( ยท๐ โ๐ด) | |
6 | scmatmat.s | . . . 4 โข ๐ = (๐ ScMat ๐ ) | |
7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | scmatscmid 22230 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐) โ โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐( ยท๐ โ๐ด)(1rโ๐ด))) |
8 | oveq 7419 | . . . . . . 7 โข (๐ = (๐( ยท๐ โ๐ด)(1rโ๐ด)) โ (๐ผ๐๐ฝ) = (๐ผ(๐( ยท๐ โ๐ด)(1rโ๐ด))๐ฝ)) | |
9 | simpll1 1210 | . . . . . . . 8 โข ((((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐) โง (๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐)) โง ๐ โ ๐พ) โ ๐ โ Fin) | |
10 | simpll2 1211 | . . . . . . . 8 โข ((((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐) โง (๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐)) โง ๐ โ ๐พ) โ ๐ โ Ring) | |
11 | simpr 483 | . . . . . . . 8 โข ((((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐) โง (๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐)) โง ๐ โ ๐พ) โ ๐ โ ๐พ) | |
12 | simplr 765 | . . . . . . . 8 โข ((((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐) โง (๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐)) โง ๐ โ ๐พ) โ (๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐)) | |
13 | scmate.0 | . . . . . . . . 9 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
14 | 2, 1, 13, 4, 5 | scmatscmide 22231 | . . . . . . . 8 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โง (๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐)) โ (๐ผ(๐( ยท๐ โ๐ด)(1rโ๐ด))๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐, 0 )) |
15 | 9, 10, 11, 12, 14 | syl31anc 1371 | . . . . . . 7 โข ((((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐) โง (๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐)) โง ๐ โ ๐พ) โ (๐ผ(๐( ยท๐ โ๐ด)(1rโ๐ด))๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐, 0 )) |
16 | 8, 15 | sylan9eqr 2792 | . . . . . 6 โข (((((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐) โง (๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐)) โง ๐ โ ๐พ) โง ๐ = (๐( ยท๐ โ๐ด)(1rโ๐ด))) โ (๐ผ๐๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐, 0 )) |
17 | 16 | ex 411 | . . . . 5 โข ((((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐) โง (๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐)) โง ๐ โ ๐พ) โ (๐ = (๐( ยท๐ โ๐ด)(1rโ๐ด)) โ (๐ผ๐๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐, 0 ))) |
18 | 17 | reximdva 3166 | . . . 4 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐) โง (๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐)) โ (โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐( ยท๐ โ๐ด)(1rโ๐ด)) โ โ๐ โ ๐พ (๐ผ๐๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐, 0 ))) |
19 | 18 | ex 411 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐) โ ((๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐) โ (โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐( ยท๐ โ๐ด)(1rโ๐ด)) โ โ๐ โ ๐พ (๐ผ๐๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐, 0 )))) |
20 | 7, 19 | mpid 44 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐) โ ((๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐) โ โ๐ โ ๐พ (๐ผ๐๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐, 0 ))) |
21 | 20 | imp 405 | 1 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐) โง (๐ผ โ ๐ โง ๐ฝ โ ๐)) โ โ๐ โ ๐พ (๐ผ๐๐ฝ) = if(๐ผ = ๐ฝ, ๐, 0 )) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โง w3a 1085 = wceq 1539 โ wcel 2104 โwrex 3068 ifcif 4529 โcfv 6544 (class class class)co 7413 Fincfn 8943 Basecbs 17150 ยท๐ cvsca 17207 0gc0g 17391 1rcur 20077 Ringcrg 20129 Mat cmat 22129 ScMat cscmat 22213 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7729 ax-cnex 11170 ax-resscn 11171 ax-1cn 11172 ax-icn 11173 ax-addcl 11174 ax-addrcl 11175 ax-mulcl 11176 ax-mulrcl 11177 ax-mulcom 11178 ax-addass 11179 ax-mulass 11180 ax-distr 11181 ax-i2m1 11182 ax-1ne0 11183 ax-1rid 11184 ax-rnegex 11185 ax-rrecex 11186 ax-cnre 11187 ax-pre-lttri 11188 ax-pre-lttrn 11189 ax-pre-ltadd 11190 ax-pre-mulgt0 11191 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-ot 4638 df-uni 4910 df-int 4952 df-iun 5000 df-iin 5001 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-se 5633 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-isom 6553 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-of 7674 df-om 7860 df-1st 7979 df-2nd 7980 df-supp 8151 df-frecs 8270 df-wrecs 8301 df-recs 8375 df-rdg 8414 df-1o 8470 df-er 8707 df-map 8826 df-ixp 8896 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-fin 8947 df-fsupp 9366 df-sup 9441 df-oi 9509 df-card 9938 df-pnf 11256 df-mnf 11257 df-xr 11258 df-ltxr 11259 df-le 11260 df-sub 11452 df-neg 11453 df-nn 12219 df-2 12281 df-3 12282 df-4 12283 df-5 12284 df-6 12285 df-7 12286 df-8 12287 df-9 12288 df-n0 12479 df-z 12565 df-dec 12684 df-uz 12829 df-fz 13491 df-fzo 13634 df-seq 13973 df-hash 14297 df-struct 17086 df-sets 17103 df-slot 17121 df-ndx 17133 df-base 17151 df-ress 17180 df-plusg 17216 df-mulr 17217 df-sca 17219 df-vsca 17220 df-ip 17221 df-tset 17222 df-ple 17223 df-ds 17225 df-hom 17227 df-cco 17228 df-0g 17393 df-gsum 17394 df-prds 17399 df-pws 17401 df-mre 17536 df-mrc 17537 df-acs 17539 df-mgm 18567 df-sgrp 18646 df-mnd 18662 df-mhm 18707 df-submnd 18708 df-grp 18860 df-minusg 18861 df-sbg 18862 df-mulg 18989 df-subg 19041 df-ghm 19130 df-cntz 19224 df-cmn 19693 df-abl 19694 df-mgp 20031 df-rng 20049 df-ur 20078 df-ring 20131 df-subrg 20461 df-lmod 20618 df-lss 20689 df-sra 20932 df-rgmod 20933 df-dsmm 21508 df-frlm 21523 df-mamu 22108 df-mat 22130 df-scmat 22215 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |