Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  selvval2lemn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selvval2lemn 40608
Description: A lemma to illustrate the purpose of selvval2lem3 40607 and the value of 𝑄. Will be renamed in the future when this section is moved to main. (Contributed by SN, 5-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
selvval2lemn.u 𝑈 = ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)
selvval2lemn.t 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvval2lemn.c 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvval2lemn.d 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
selvval2lemn.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran 𝐷)
selvval2lemn.w 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
selvval2lemn.s 𝑆 = (𝑇s ran 𝐷)
selvval2lemn.x 𝑋 = (𝑇s (𝐵m 𝐼))
selvval2lemn.b 𝐵 = (Base‘𝑇)
selvval2lemn.i (𝜑𝐼𝑉)
selvval2lemn.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
selvval2lemn.j (𝜑𝐽𝐼)
Assertion
Ref Expression
selvval2lemn (𝜑𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑋))

Proof of Theorem selvval2lemn
StepHypRef Expression
1 selvval2lemn.i . 2 (𝜑𝐼𝑉)
2 selvval2lemn.j . . . 4 (𝜑𝐽𝐼)
31, 2ssexd 5279 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ V)
41difexd 5284 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝐽) ∈ V)
5 selvval2lemn.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
6 selvval2lemn.u . . . . 5 𝑈 = ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)
76mplcrng 21372 . . . 4 (((𝐼𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑈 ∈ CRing)
84, 5, 7syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ CRing)
9 selvval2lemn.t . . . 4 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
109mplcrng 21372 . . 3 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ CRing)
113, 8, 10syl2anc 584 . 2 (𝜑𝑇 ∈ CRing)
12 selvval2lemn.c . . 3 𝐶 = (algSc‘𝑇)
13 selvval2lemn.d . . 3 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
146, 9, 12, 13, 4, 3, 5selvval2lem3 40607 . 2 (𝜑 → ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇))
15 selvval2lemn.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran 𝐷)
16 selvval2lemn.w . . 3 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
17 selvval2lemn.s . . 3 𝑆 = (𝑇s ran 𝐷)
18 selvval2lemn.x . . 3 𝑋 = (𝑇s (𝐵m 𝐼))
19 selvval2lemn.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑇)
2015, 16, 17, 18, 19evlsrhm 21444 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ CRing ∧ ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑋))
211, 11, 14, 20syl3anc 1371 1 (𝜑𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  cdif 3905  wss 3908  ran crn 5632  ccom 5635  cfv 6493  (class class class)co 7351  m cmap 8723  Basecbs 17037  s cress 17066  s cpws 17282  CRingccrg 19913   RingHom crh 20090  SubRingcsubrg 20165  algSccascl 21205   mPoly cmpl 21255   evalSub ces 21426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-ofr 7610  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-hash 14185  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-sca 17103  df-vsca 17104  df-ip 17105  df-tset 17106  df-ple 17107  df-ds 17109  df-hom 17111  df-cco 17112  df-0g 17277  df-gsum 17278  df-prds 17283  df-pws 17285  df-mre 17420  df-mrc 17421  df-acs 17423  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-mhm 18555  df-submnd 18556  df-grp 18705  df-minusg 18706  df-sbg 18707  df-mulg 18826  df-subg 18878  df-ghm 18959  df-cntz 19050  df-cmn 19517  df-abl 19518  df-mgp 19850  df-ur 19867  df-srg 19871  df-ring 19914  df-cring 19915  df-rnghom 20093  df-subrg 20167  df-lmod 20271  df-lss 20340  df-lsp 20380  df-assa 21206  df-asp 21207  df-ascl 21208  df-psr 21258  df-mvr 21259  df-mpl 21260  df-evls 21428
This theorem is referenced by:  selvcl  40611
  Copyright terms: Public domain W3C validator