Theorem evlsrhm 22068

Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsrhm.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsrhm.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsrhm.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsrhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
evlsrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evlsrhm	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evlsrhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsrhm.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		evlsrhm.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
3		eqid 2741	. . 3 ⊢ (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
4		evlsrhm.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		evlsrhm.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
6		evlsrhm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		eqid 2741	. . 3 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
8		eqid 2741	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
9		eqid 2741	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	evlsval2 22067	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘𝑊)) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))))))
11	10	simpld 496	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {csn 4558   ↦ cmpt 5156   × cxp 5619   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195   ↑_s cpws 17404  CRingccrg 20210   RingHom crh 20444  SubRingcsubrg 20545  algSccascl 21831   mVar cmvr 21884   mPoly cmpl 21885   evalSub ces 22052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-srg 20163  df-ring 20211  df-cring 20212  df-rhm 20447  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-lsp 20966  df-assa 21832  df-asp 21833  df-ascl 21834  df-psr 21888  df-mvr 21889  df-mpl 21890  df-evls 22054

This theorem is referenced by:  evlsgsumadd  22076  evlsgsummul  22077  evlspw  22078  evlrhm  22081  mpfconst  22089  mpfproj  22090  mpfsubrg  22091  mpfind  22095  evlscl  22105  evlsexpval  22108  evlsaddval  22109  evlsmulval  22110  selvcllemh  22117  evls1val  22310  evls1rhm  22312  evls1sca  22313