Theorem evlsrhm 22248

Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsrhm.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsrhm.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsrhm.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsrhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
evlsrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evlsrhm	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evlsrhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsrhm.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		evlsrhm.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
4		evlsrhm.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		evlsrhm.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
6		evlsrhm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥}))
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	evlsval2 22247	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘𝑊)) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑦‘𝑥))))))
11	10	simpld 499	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659   ∘ ccom 5665  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  Basecbs 17273   ↾_s cress 17294   ↑_s cpws 17503  CRingccrg 20320   RingHom crh 20556  SubRingcsubrg 20677  algSccascl 22011   mVar cmvr 22064   mPoly cmpl 22065   evalSub ces 22232

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-hash 14372  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-hom 17338  df-cco 17339  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-prds 17504  df-pws 17506  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-mulg 19138  df-subg 19193  df-ghm 19288  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-srg 20273  df-ring 20321  df-cring 20322  df-rhm 20559  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-assa 22012  df-asp 22013  df-ascl 22014  df-psr 22068  df-mvr 22069  df-mpl 22070  df-evls 22234

This theorem is used by:  evlsgsumadd  22256  evlsgsummul  22257  evlspw  22258  evlrhm  22261  mpfconst  22269  mpfproj  22270  mpfsubrg  22271  mpfind  22275  evlscl  22285  evlsexpval  22288  evlsaddval  22289  evlsmulval  22290  selvcllemh  22297  evls1val  22489  evls1rhm  22491  evls1sca  22492