Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsrhm 20277
 Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsrhm.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsrhm.w 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsrhm.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlsrhm.t 𝑇 = (𝑆s (𝐵m 𝐼))
evlsrhm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
evlsrhm ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evlsrhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsrhm.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2 evlsrhm.w . . 3 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
3 eqid 2820 . . 3 (𝐼 mVar 𝑈) = (𝐼 mVar 𝑈)
4 evlsrhm.u . . 3 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
5 evlsrhm.t . . 3 𝑇 = (𝑆s (𝐵m 𝐼))
6 evlsrhm.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
7 eqid 2820 . . 3 (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
8 eqid 2820 . . 3 (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥}))
9 eqid 2820 . . 3 (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlsval2 20276 . 2 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇) ∧ ((𝑄 ∘ (algSc‘𝑊)) = (𝑥𝑅 ↦ ((𝐵m 𝐼) × {𝑥})) ∧ (𝑄 ∘ (𝐼 mVar 𝑈)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ (𝐵m 𝐼) ↦ (𝑦𝑥))))))
1110simpld 497 1 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {csn 4543   ↦ cmpt 5122   × cxp 5529   ∘ ccom 5535  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133   ↑m cmap 8384  Basecbs 16462   ↾s cress 16463   ↑s cpws 16699  CRingccrg 19277   RingHom crh 19443  SubRingcsubrg 19507  algSccascl 20060   mVar cmvr 20108   mPoly cmpl 20109   evalSub ces 20260 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-ofr 7388  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-sup 8884  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-seq 13354  df-hash 13676  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-hom 16568  df-cco 16569  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-prds 16700  df-pws 16702  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-mulg 18204  df-subg 18255  df-ghm 18335  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-srg 19235  df-ring 19278  df-cring 19279  df-rnghom 19446  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-assa 20061  df-asp 20062  df-ascl 20063  df-psr 20112  df-mvr 20113  df-mpl 20114  df-evls 20262 This theorem is referenced by:  evlsgsumadd  20280  evlsgsummul  20281  evlspw  20282  evlrhm  20285  mpfconst  20290  mpfproj  20291  mpfsubrg  20292  mpfind  20296  evls1val  20459  evls1rhm  20461  evls1sca  20462  selvval2lemn  39247
 Copyright terms: Public domain W3C validator