Theorem sqrtnnaa 48128

Description: Square root of a natural number is algebraic. (Contributed by Ender Ting, 21-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtnnaa	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ 𝔸)

Proof of Theorem sqrtnnaa

Dummy variables 𝑥 𝑡 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12373	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sqrtcld 15639	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3		fveq1 6910	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) → (𝑥‘(√‘𝐴)) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)))
4	3	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) → ((𝑥‘(√‘𝐴)) = 0 ↔ (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = 0))
5		zsscn 12731	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
6		1z 12756	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		2nn0 12653	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8		plypow 26556	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
9	5, 6, 7, 8	mp3an 1491	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
11		nnz 12744	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
12		plyconst 26557	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℤ))
13	5, 11, 12	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℤ))
14		zaddcl 12766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑝) ∈ ℤ)
15	14	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑝) ∈ ℤ)
16		zmulcl 12775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑝) ∈ ℤ)
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑝) ∈ ℤ)
18		neg1z 12762	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
20	10, 13, 15, 17, 19	plysub 26571	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℤ))
21		0cn 11328	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
22		ovex 7479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡↑2) ∈ V
23	22	rgenw 3084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑡 ∈ ℂ (𝑡↑2) ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑡 ∈ ℂ (𝑡↑2) ∈ V)
25		nfcv 2926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡ℂ
26	25	mptfnf 6699	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℂ (𝑡↑2) ∈ V ↔ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ)
27	24, 26	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ)
28		fnconstg 6795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ)
29		cnex 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ℂ ∈ V)
31		0cnd 11329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ)
32		fnfvof 7737	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ)) → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) − ((ℂ × {𝐴})‘0)))
33	27, 28, 30, 31, 32	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) − ((ℂ × {𝐴})‘0)))
34		oveq1 7453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡↑2) = (0↑2))
35		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))
36		ovex 7479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑2) ∈ V
37	34, 35, 36	fvmpt 7019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = (0↑2))
38	21, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = (0↑2)
39		sq0 14365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑2) = 0
40	38, 39	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = 0
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = 0)
42		fvconst2g 7234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
43	31, 42	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
44	41, 43	oveq12d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) − ((ℂ × {𝐴})‘0)) = (0 − 𝐴))
45	33, 44	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) = (0 − 𝐴))
46		nnne0 12402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
47	46	necomd 3014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝐴)
48	31, 1, 47	subne0d 11709	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 − 𝐴) ≠ 0)
49	45, 48	eqnetrd 3026	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) ≠ 0)
50		ne0p 26558	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) ≠ 0) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
51	21, 49, 50	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
52	20, 51	eldifsnd 4750	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
53		fnfvof 7737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ)) → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) − ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴))))
54	27, 28, 30, 2, 53	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) − ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴))))
55		oveq1 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (√‘𝐴) → (𝑡↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
56		ovex 7479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘𝐴)↑2) ∈ V
57	55, 35, 56	fvmpt 7019	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) = ((√‘𝐴)↑2))
58	2, 57	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) = ((√‘𝐴)↑2))
59	1	sqsqrtd 15641	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
60	58, 59	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) = 𝐴)
61		fvconst2g 7234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴)) = 𝐴)
62	2, 61	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴)) = 𝐴)
63	60, 62	oveq12d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) − ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴))) = (𝐴 − 𝐴))
64	54, 63	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = (𝐴 − 𝐴))
65	1	subidd 11687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
66	64, 65	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = 0)
67	4, 52, 66	rspcedvdw 3583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘𝐴)) = 0)
68		elaa 26672	. 2 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ 𝔸 ↔ ((√‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘𝐴)) = 0))
69	2, 67, 68	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ 𝔸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588   ↦ cmpt 5190   × cxp 5654   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∘_f cof 7718  ℂcc 11228  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   · cmul 11235   − cmin 11571   -cneg 11572  ℕcn 12365  2c2 12427  ℕ₀cn0 12636  ℤcz 12723  ↑cexp 14234  √csqrt 15432  0_𝑝c0p 26023  Polycply 26535  𝔸caa 26670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-sum 15886  df-0p 26024  df-ply 26539  df-aa 26671

This theorem is used by:  numtowerdt  48131