Theorem sqrtnnaa 47857

Description: Square root of a natural number is algebraic. (Contributed by Ender Ting, 21-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtnnaa	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ 𝔸)

Proof of Theorem sqrtnnaa

Dummy variables 𝑥 𝑡 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12324	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sqrtcld 15587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3		fveq1 6876	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) → (𝑥‘(√‘𝐴)) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)))
4	3	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) → ((𝑥‘(√‘𝐴)) = 0 ↔ (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = 0))
5		zsscn 12682	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
6		1z 12707	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		2nn0 12604	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8		plypow 26503	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
9	5, 6, 7, 8	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
11		nnz 12695	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
12		plyconst 26504	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℤ))
13	5, 11, 12	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℤ))
14		zaddcl 12717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑝) ∈ ℤ)
15	14	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑝) ∈ ℤ)
16		zmulcl 12726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑝) ∈ ℤ)
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑝) ∈ ℤ)
18		neg1z 12713	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
20	10, 13, 15, 17, 19	plysub 26518	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℤ))
21		0cn 11279	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
22		ovex 7445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡↑2) ∈ V
23	22	rgenw 3081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑡 ∈ ℂ (𝑡↑2) ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑡 ∈ ℂ (𝑡↑2) ∈ V)
25		nfcv 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡ℂ
26	25	mptfnf 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℂ (𝑡↑2) ∈ V ↔ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ)
27	24, 26	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ)
28		fnconstg 6762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ)
29		cnex 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ℂ ∈ V)
31		0cnd 11280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ)
32		fnfvof 7699	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ)) → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) − ((ℂ × {𝐴})‘0)))
33	27, 28, 30, 31, 32	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) − ((ℂ × {𝐴})‘0)))
34		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡↑2) = (0↑2))
35		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))
36		ovex 7445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑2) ∈ V
37	34, 35, 36	fvmpt 6985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = (0↑2))
38	21, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = (0↑2)
39		sq0 14315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑2) = 0
40	38, 39	eqtri 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = 0
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = 0)
42		fvconst2g 7200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
43	31, 42	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
44	41, 43	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) − ((ℂ × {𝐴})‘0)) = (0 − 𝐴))
45	33, 44	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) = (0 − 𝐴))
46		nnne0 12353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
47	46	necomd 3011	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝐴)
48	31, 1, 47	subne0d 11660	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 − 𝐴) ≠ 0)
49	45, 48	eqnetrd 3023	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) ≠ 0)
50		ne0p 26505	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) ≠ 0) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
51	21, 49, 50	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
52	20, 51	eldifsnd 4750	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
53		fnfvof 7699	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ)) → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) − ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴))))
54	27, 28, 30, 2, 53	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) − ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴))))
55		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (√‘𝐴) → (𝑡↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
56		ovex 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘𝐴)↑2) ∈ V
57	55, 35, 56	fvmpt 6985	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) = ((√‘𝐴)↑2))
58	2, 57	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) = ((√‘𝐴)↑2))
59	1	sqsqrtd 15589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
60	58, 59	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) = 𝐴)
61		fvconst2g 7200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴)) = 𝐴)
62	2, 61	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴)) = 𝐴)
63	60, 62	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) − ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴))) = (𝐴 − 𝐴))
64	54, 63	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = (𝐴 − 𝐴))
65	1	subidd 11638	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
66	64, 65	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = 0)
67	4, 52, 66	rspcedvdw 3580	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘𝐴)) = 0)
68		elaa 26621	. 2 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ 𝔸 ↔ ((√‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘𝐴)) = 0))
69	2, 67, 68	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ 𝔸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7680  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522  -cneg 11523  ℕcn 12316  2c2 12378  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ↑cexp 14184  √csqrt 15380  0_𝑝c0p 25970  Polycply 26482  𝔸caa 26619

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834  df-0p 25971  df-ply 26486  df-aa 26620

This theorem is used by:  numtowerdt  47860