Theorem sqrtnnaa 47739

Description: Square root of a natural number is algebraic. (Contributed by Ender Ting, 21-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtnnaa	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ 𝔸)

Proof of Theorem sqrtnnaa

Dummy variables 𝑥 𝑡 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12269	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sqrtcld 15531	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3		fveq1 6881	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) → (𝑥‘(√‘𝐴)) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)))
4	3	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) → ((𝑥‘(√‘𝐴)) = 0 ↔ (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = 0))
5		zsscn 12627	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
6		1z 12652	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		2nn0 12549	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8		plypow 26437	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
9	5, 6, 7, 8	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
11		nnz 12640	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
12		plyconst 26438	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℤ))
13	5, 11, 12	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℤ))
14		zaddcl 12662	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑝) ∈ ℤ)
15	14	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑝) ∈ ℤ)
16		zmulcl 12671	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑝) ∈ ℤ)
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑝) ∈ ℤ)
18		neg1z 12658	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
20	10, 13, 15, 17, 19	plysub 26452	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℤ))
21		0cn 11226	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
22		ovex 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡↑2) ∈ V
23	22	rgenw 3082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑡 ∈ ℂ (𝑡↑2) ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑡 ∈ ℂ (𝑡↑2) ∈ V)
25		nfcv 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡ℂ
26	25	mptfnf 6671	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℂ (𝑡↑2) ∈ V ↔ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ)
27	24, 26	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ)
28		fnconstg 6767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ)
29		cnex 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ℂ ∈ V)
31		0cnd 11227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ)
32		fnfvof 7699	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ)) → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) − ((ℂ × {𝐴})‘0)))
33	27, 28, 30, 31, 32	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) − ((ℂ × {𝐴})‘0)))
34		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡↑2) = (0↑2))
35		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))
36		ovex 7450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑2) ∈ V
37	34, 35, 36	fvmpt 6990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = (0↑2))
38	21, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = (0↑2)
39		sq0 14260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑2) = 0
40	38, 39	eqtri 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = 0
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = 0)
42		fvconst2g 7205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
43	31, 42	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
44	41, 43	oveq12d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) − ((ℂ × {𝐴})‘0)) = (0 − 𝐴))
45	33, 44	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) = (0 − 𝐴))
46		nnne0 12298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
47	46	necomd 3012	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝐴)
48	31, 1, 47	subne0d 11607	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 − 𝐴) ≠ 0)
49	45, 48	eqnetrd 3024	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) ≠ 0)
50		ne0p 26439	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) ≠ 0) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
51	21, 49, 50	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
52	20, 51	eldifsnd 4753	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
53		fnfvof 7699	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ)) → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) − ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴))))
54	27, 28, 30, 2, 53	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) − ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴))))
55		oveq1 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (√‘𝐴) → (𝑡↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
56		ovex 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘𝐴)↑2) ∈ V
57	55, 35, 56	fvmpt 6990	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) = ((√‘𝐴)↑2))
58	2, 57	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) = ((√‘𝐴)↑2))
59	1	sqsqrtd 15533	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
60	58, 59	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) = 𝐴)
61		fvconst2g 7205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴)) = 𝐴)
62	2, 61	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴)) = 𝐴)
63	60, 62	oveq12d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) − ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴))) = (𝐴 − 𝐴))
64	54, 63	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = (𝐴 − 𝐴))
65	1	subidd 11585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
66	64, 65	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = 0)
67	4, 52, 66	rspcedvdw 3582	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘𝐴)) = 0)
68		elaa 26555	. 2 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ 𝔸 ↔ ((√‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘𝐴)) = 0))
69	2, 67, 68	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ 𝔸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4587   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∘_f cof 7680  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   − cmin 11469  -cneg 11470  ℕcn 12261  2c2 12323  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ↑cexp 14129  √csqrt 15324  0_𝑝c0p 25903  Polycply 26416  𝔸caa 26553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-0p 25904  df-ply 26420  df-aa 26554

This theorem is used by:  numtowerdt  47742