Theorem sqrtnnaa 48006

Description: Square root of a natural number is algebraic. (Contributed by Ender Ting, 21-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtnnaa	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ 𝔸)

Proof of Theorem sqrtnnaa

Dummy variables 𝑥 𝑡 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12346	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sqrtcld 15612	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3		fveq1 6884	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) → (𝑥‘(√‘𝐴)) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)))
4	3	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) → ((𝑥‘(√‘𝐴)) = 0 ↔ (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = 0))
5		zsscn 12704	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
6		1z 12729	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
7		2nn0 12626	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8		plypow 26528	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
9	5, 6, 7, 8	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
11		nnz 12717	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
12		plyconst 26529	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℤ))
13	5, 11, 12	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℤ))
14		zaddcl 12739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑝) ∈ ℤ)
15	14	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑝) ∈ ℤ)
16		zmulcl 12748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑝) ∈ ℤ)
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑝) ∈ ℤ)
18		neg1z 12735	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
20	10, 13, 15, 17, 19	plysub 26543	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℤ))
21		0cn 11301	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
22		ovex 7453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡↑2) ∈ V
23	22	rgenw 3080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑡 ∈ ℂ (𝑡↑2) ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑡 ∈ ℂ (𝑡↑2) ∈ V)
25		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡ℂ
26	25	mptfnf 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℂ (𝑡↑2) ∈ V ↔ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ)
27	24, 26	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ)
28		fnconstg 6770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ)
29		cnex 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ℂ ∈ V)
31		0cnd 11302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ)
32		fnfvof 7710	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ)) → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) − ((ℂ × {𝐴})‘0)))
33	27, 28, 30, 31, 32	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) − ((ℂ × {𝐴})‘0)))
34		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡↑2) = (0↑2))
35		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))
36		ovex 7453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑2) ∈ V
37	34, 35, 36	fvmpt 6993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = (0↑2))
38	21, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = (0↑2)
39		sq0 14338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑2) = 0
40	38, 39	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = 0
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) = 0)
42		fvconst2g 7208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
43	31, 42	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
44	41, 43	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘0) − ((ℂ × {𝐴})‘0)) = (0 − 𝐴))
45	33, 44	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) = (0 − 𝐴))
46		nnne0 12375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
47	46	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝐴)
48	31, 1, 47	subne0d 11682	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 − 𝐴) ≠ 0)
49	45, 48	eqnetrd 3022	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) ≠ 0)
50		ne0p 26530	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘0) ≠ 0) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
51	21, 49, 50	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
52	20, 51	eldifsnd 4746	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
53		fnfvof 7710	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) Fn ℂ ∧ (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ) ∧ (ℂ ∈ V ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ)) → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) − ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴))))
54	27, 28, 30, 2, 53	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) − ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴))))
55		oveq1 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (√‘𝐴) → (𝑡↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
56		ovex 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘𝐴)↑2) ∈ V
57	55, 35, 56	fvmpt 6993	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) = ((√‘𝐴)↑2))
58	2, 57	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) = ((√‘𝐴)↑2))
59	1	sqsqrtd 15614	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
60	58, 59	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) = 𝐴)
61		fvconst2g 7208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴)) = 𝐴)
62	2, 61	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴)) = 𝐴)
63	60, 62	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2))‘(√‘𝐴)) − ((ℂ × {𝐴})‘(√‘𝐴))) = (𝐴 − 𝐴))
64	54, 63	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = (𝐴 − 𝐴))
65	1	subidd 11660	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
66	64, 65	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(√‘𝐴)) = 0)
67	4, 52, 66	rspcedvdw 3579	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘𝐴)) = 0)
68		elaa 26644	. 2 ⊢ ((√‘𝐴) ∈ 𝔸 ↔ ((√‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑥‘(√‘𝐴)) = 0))
69	2, 67, 68	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (√‘𝐴) ∈ 𝔸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4584   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544   -cneg 11545  ℕcn 12338  2c2 12400  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  ↑cexp 14207  √csqrt 15405  0_𝑝c0p 25995  Polycply 26507  𝔸caa 26642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-sum 15859  df-0p 25996  df-ply 26511  df-aa 26643

This theorem is used by:  numtowerdt  48009