Theorem opnmbl 25509

Description: All open sets are measurable. This proof, via dyadmbl 25507 and uniioombl 25496, shows that it is possible to avoid choice for measurability of open sets and hence continuous functions, which extends the choice-free consequences of Lebesgue measure considerably farther than would otherwise be possible. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opnmbl	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem opnmbl

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7396	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / (2↑𝑦)) = (𝑧 / (2↑𝑦)))
2		oveq1 7396	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 1) = (𝑧 + 1))
3	2	oveq1d 7404	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) = ((𝑧 + 1) / (2↑𝑦)))
4	1, 3	opeq12d 4847	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ = ⟨(𝑧 / (2↑𝑦)), ((𝑧 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
5		oveq2 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (2↑𝑦) = (2↑𝑤))
6	5	oveq2d 7405	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧 / (2↑𝑦)) = (𝑧 / (2↑𝑤)))
7	5	oveq2d 7405	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧 + 1) / (2↑𝑦)) = ((𝑧 + 1) / (2↑𝑤)))
8	6, 7	opeq12d 4847	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ⟨(𝑧 / (2↑𝑦)), ((𝑧 + 1) / (2↑𝑦))⟩ = ⟨(𝑧 / (2↑𝑤)), ((𝑧 + 1) / (2↑𝑤))⟩)
9	4, 8	cbvmpov 7486	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) = (𝑧 ∈ ℤ, 𝑤 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑧 / (2↑𝑤)), ((𝑧 + 1) / (2↑𝑤))⟩)
10	9	opnmbllem 25508	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4597  dom cdm 5640  ran crn 5641  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ∈ cmpo 7391  1c1 11075   + caddc 11077   / cdiv 11841  2c2 12242  ℕ₀cn0 12448  ℤcz 12535  (,)cioo 13312  ↑cexp 14032  topGenctg 17406  volcvol 25370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-omul 8441  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fi 9368  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-dju 9860  df-card 9898  df-acn 9901  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-xmul 13080  df-ioo 13316  df-ico 13318  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-clim 15460  df-rlim 15461  df-sum 15659  df-rest 17391  df-topgen 17412  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-top 22787  df-topon 22804  df-bases 22839  df-cmp 23280  df-ovol 25371  df-vol 25372

This theorem is referenced by:  subopnmbl  25511  mblfinlem3  37648  mblfinlem4  37649  ismblfin  37650