Theorem chjo 28714

Description: The join of a closed subspace and its orthocomplement is all of Hilbert space. (Contributed by NM, 31-Oct-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chjo	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = ℋ)

Proof of Theorem chjo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ))
2		fveq2 6333	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (⊥‘𝐴) = (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ)))
3	1, 2	oveq12d 6814	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ))))
4	3	eqeq1d 2773	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) → ((𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = ℋ ↔ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ))) = ℋ))
5		ifchhv 28441	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∈ Cℋ
6	5	chjoi 28687	. 2 ⊢ (if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ) ∨ℋ (⊥‘if(𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴, ℋ))) = ℋ
7	4, 6	dedth 4279	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐴)) = ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ifcif 4226  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   ℋchil 28116   C_ℋ cch 28126  ⊥cort 28127   ∨_ℋ chj 28130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12387  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-lm 21254  df-haus 21340  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-hnorm 28165  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-sh 28404  df-ch 28418  df-oc 28449  df-ch0 28450  df-chj 28509

This theorem is referenced by:  hstoc  29421