MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1tmle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1tmle 26008
Description: Limiting degree of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1tm.d ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
deg1tm.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
deg1tm.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
deg1tm.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
deg1tm.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
deg1tm.n ๐‘ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
deg1tm.e โ†‘ = (.gโ€˜๐‘)
Assertion
Ref Expression
deg1tmle ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ทโ€˜(๐ถ ยท (๐น โ†‘ ๐‘‹))) โ‰ค ๐น)

Proof of Theorem deg1tmle
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
2 deg1tm.k . . . . 5 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
3 deg1tm.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 deg1tm.x . . . . 5 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
5 deg1tm.m . . . . 5 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
6 deg1tm.n . . . . 5 ๐‘ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
7 deg1tm.e . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜๐‘)
8 simpl1 1188 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐น < ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
9 simpl2 1189 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐น < ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
10 simpl3 1190 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐น < ๐‘ฅ)) โ†’ ๐น โˆˆ โ„•0)
11 simprl 768 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐น < ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
1210nn0red 12537 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐น < ๐‘ฅ)) โ†’ ๐น โˆˆ โ„)
13 simprr 770 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐น < ๐‘ฅ)) โ†’ ๐น < ๐‘ฅ)
1412, 13ltned 11354 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐น < ๐‘ฅ)) โ†’ ๐น โ‰  ๐‘ฅ)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14coe1tmfv2 22149 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐น < ๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐น โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))
1615expr 456 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐น < ๐‘ฅ โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐น โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))
1716ralrimiva 3140 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐น < ๐‘ฅ โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐น โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))
18 eqid 2726 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
192, 3, 4, 5, 6, 7, 18ply1tmcl 22146 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ ยท (๐น โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
20 nn0re 12485 . . . . 5 (๐น โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐น โˆˆ โ„)
2120rexrd 11268 . . . 4 (๐น โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐น โˆˆ โ„*)
22213ad2ant3 1132 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐น โˆˆ โ„*)
23 deg1tm.d . . . 4 ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
24 eqid 2726 . . . 4 (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐น โ†‘ ๐‘‹))) = (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐น โ†‘ ๐‘‹)))
2523, 3, 18, 1, 24deg1leb 25986 . . 3 (((๐ถ ยท (๐น โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง ๐น โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ทโ€˜(๐ถ ยท (๐น โ†‘ ๐‘‹))) โ‰ค ๐น โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐น < ๐‘ฅ โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐น โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))))
2619, 22, 25syl2anc 583 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ทโ€˜(๐ถ ยท (๐น โ†‘ ๐‘‹))) โ‰ค ๐น โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐น < ๐‘ฅ โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐น โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))))
2717, 26mpbird 257 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ทโ€˜(๐ถ ยท (๐น โ†‘ ๐‘‹))) โ‰ค ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„•0cn0 12476  Basecbs 17153   ยท๐‘  cvsca 17210  0gc0g 17394  .gcmg 18995  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  var1cv1 22050  Poly1cpl1 22051  coe1cco1 22052   deg1 cdg1 25942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-cnfld 21241  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057  df-mdeg 25943  df-deg1 25944
This theorem is referenced by:  deg1tm  26009  deg1pwle  26010  ply1divex  26027
  Copyright terms: Public domain W3C validator