Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1tmle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1tmle 24718
 Description: Limiting degree of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1tm.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1tm.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1tm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1tm.x 𝑋 = (var1𝑅)
deg1tm.m · = ( ·𝑠𝑃)
deg1tm.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
deg1tm.e = (.g𝑁)
Assertion
Ref Expression
deg1tmle ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 𝑋))) ≤ 𝐹)

Proof of Theorem deg1tmle
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2 deg1tm.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 deg1tm.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 deg1tm.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
5 deg1tm.m . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑃)
6 deg1tm.n . . . . 5 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7 deg1tm.e . . . . 5 = (.g𝑁)
8 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐹 < 𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
9 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐹 < 𝑥)) → 𝐶𝐾)
10 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 ∈ ℕ0)
11 simprl 770 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐹 < 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
1210nn0red 11944 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 ∈ ℝ)
13 simprr 772 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 < 𝑥)
1412, 13ltned 10765 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐹 < 𝑥)) → 𝐹𝑥)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14coe1tmfv2 20904 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐹 < 𝑥)) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 𝑋)))‘𝑥) = (0g𝑅))
1615expr 460 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 𝑋)))‘𝑥) = (0g𝑅)))
1716ralrimiva 3149 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 𝑋)))‘𝑥) = (0g𝑅)))
18 eqid 2798 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
192, 3, 4, 5, 6, 7, 18ply1tmcl 20901 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐹 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
20 nn0re 11894 . . . . 5 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℝ)
2120rexrd 10680 . . . 4 (𝐹 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℝ*)
22213ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ℝ*)
23 deg1tm.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
24 eqid 2798 . . . 4 (coe1‘(𝐶 · (𝐹 𝑋))) = (coe1‘(𝐶 · (𝐹 𝑋)))
2523, 3, 18, 1, 24deg1leb 24696 . . 3 (((𝐶 · (𝐹 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐶 · (𝐹 𝑋))) ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 𝑋)))‘𝑥) = (0g𝑅))))
2619, 22, 25syl2anc 587 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) → ((𝐷‘(𝐶 · (𝐹 𝑋))) ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 𝑋)))‘𝑥) = (0g𝑅))))
2717, 26mpbird 260 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 𝑋))) ≤ 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕ0cn0 11885  Basecbs 16475   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705  .gcmg 18216  mulGrpcmgp 19232  Ringcrg 19290  var1cv1 20805  Poly1cpl1 20806  coe1cco1 20807   deg1 cdg1 24655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-cnfld 20092  df-psr 20594  df-mvr 20595  df-mpl 20596  df-opsr 20598  df-psr1 20809  df-vr1 20810  df-ply1 20811  df-coe1 20812  df-mdeg 24656  df-deg1 24657 This theorem is referenced by:  deg1tm  24719  deg1pwle  24720  ply1divex  24737
 Copyright terms: Public domain W3C validator