Theorem deg1tmle 25635

Description: Limiting degree of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1tm.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
deg1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
deg1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
deg1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
deg1tmle	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ≤ 𝐹)

Proof of Theorem deg1tmle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
2		deg1tm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		deg1tm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		deg1tm.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		deg1tm.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		deg1tm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		deg1tm.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
10		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 ∈ ℕ0)
11		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
12	10	nn0red 12533	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 ∈ ℝ)
13		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 < 𝑥)
14	12, 13	ltned 11350	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 ≠ 𝑥)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14	coe1tmfv2 21797	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅))
16	15	expr 458	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
17	16	ralrimiva 3147	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
18		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
19	2, 3, 4, 5, 6, 7, 18	ply1tmcl 21794	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
20		nn0re 12481	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ0 → 𝐹 ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11264	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ0 → 𝐹 ∈ ℝ*)
22	21	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ℝ*)
23		deg1tm.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
24		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) = (coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))
25	23, 3, 18, 1, 24	deg1leb 25613	. . 3 ⊢ (((𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
26	19, 22, 25	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
27	17, 26	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ≤ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249  ℕ₀cn0 12472  Basecbs 17144   ·_𝑠 cvsca 17201  0_gc0g 17385  ._gcmg 18950  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056  var₁cv1 21700  Poly₁cpl1 21701  coe₁cco1 21702   deg₁ cdg1 25569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-cnfld 20945  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-vr1 21705  df-ply1 21706  df-coe1 21707  df-mdeg 25570  df-deg1 25571

This theorem is referenced by:  deg1tm  25636  deg1pwle  25637  ply1divex  25654