Theorem deg1tmle 26081

Description: Limiting degree of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1tm.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
deg1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
deg1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
deg1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
deg1tmle	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ≤ 𝐹)

Proof of Theorem deg1tmle

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
2		deg1tm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		deg1tm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		deg1tm.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		deg1tm.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		deg1tm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		deg1tm.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		simpl1 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simpl2 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
10		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 ∈ ℕ0)
11		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
12	10	nn0red 12573	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 ∈ ℝ)
13		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 < 𝑥)
14	12, 13	ltned 11390	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → 𝐹 ≠ 𝑥)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14	coe1tmfv2 22213	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 < 𝑥)) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅))
16	15	expr 455	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
17	16	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
18		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
19	2, 3, 4, 5, 6, 7, 18	ply1tmcl 22210	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
20		nn0re 12521	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ0 → 𝐹 ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11304	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ℕ0 → 𝐹 ∈ ℝ*)
22	21	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ ℝ*)
23		deg1tm.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
24		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) = (coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))
25	23, 3, 18, 1, 24	deg1leb 26059	. . 3 ⊢ (((𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
26	19, 22, 25	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → ((𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐹 < 𝑥 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋)))‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
27	17, 26	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐶 · (𝐹 ↑ 𝑋))) ≤ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℝ^*cxr 11287   < clt 11288   ≤ cle 11289  ℕ₀cn0 12512  Basecbs 17189   ·_𝑠 cvsca 17246  0_gc0g 17430  ._gcmg 19037  mulGrpcmgp 20088  Ringcrg 20187  var₁cv1 22113  Poly₁cpl1 22114  coe₁cco1 22115   deg₁ cdg1 26015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-cnfld 21294  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22117  df-vr1 22118  df-ply1 22119  df-coe1 22120  df-mdeg 26016  df-deg1 26017

This theorem is referenced by:  deg1tm  26082  deg1pwle  26083  ply1divex  26100