Theorem coe1vr1 34034

Description: Polynomial coefficient of the variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1vr1.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1vr1.2	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1vr1.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1vr1.4	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1vr1.5	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1vr1	⊢ (𝜑 → (coe1‘𝑋) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 1, 1 , 0 )))

Distinct variable groups:   0 ,𝑘   1 ,𝑘   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem coe1vr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1vr1.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1vr1.2	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
3		coe1vr1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	2, 3, 4	vr1cl 22474	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7	6, 4	mgpbas 20304	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
9	7, 8	mulg1 19230	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
10	1, 5, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
11	10	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (coe1‘𝑋))
12		1nn0 12569	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
14		coe1vr1.4	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15		coe1vr1.5	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	3, 2, 8, 1, 13, 14, 15	coe1mon 34030	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 1, 1 , 0 )))
17	11, 16	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝑋) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 1, 1 , 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  1c1 11150  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17326  0_gc0g 17549  ._gcmg 19216  mulGrpcmgp 20299  1_rcur 20346  Ringcrg 20398  var₁cv1 22433  Poly₁cpl1 22434  coe₁cco1 22435

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-sup 9419  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-seq 14091  df-hash 14420  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-hom 17391  df-cco 17392  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-prds 17557  df-pws 17559  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-submnd 18918  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-mulg 19217  df-subg 19272  df-ghm 19367  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-subrng 20737  df-subrg 20761  df-lmod 21076  df-lss 21146  df-psr 22156  df-mvr 22157  df-mpl 22158  df-opsr 22160  df-psr1 22437  df-vr1 22438  df-ply1 22439  df-coe1 22440

This theorem is used by:  rtelextdg2lem  34269