Theorem deg1vr 33553

Description: The degree of the variable polynomial is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1vr.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1vr.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1vr.3	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
deg1vr.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
deg1vr	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)

Proof of Theorem deg1vr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1vr.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		deg1vr.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1sca 22165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
7	6	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
8	7	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))
9	4	ply1lmod 22164	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
10	3, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
11		deg1vr.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	11, 4, 12	vr1cl 22130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14	3, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
16	15, 12	mgpbas 20063	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
17		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
18	16, 17	mulg1 18994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
19	14, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
20	19, 14	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
21		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
22		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
23		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
24	12, 21, 22, 23	lmodvs1 20823	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))
25	10, 20, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))
26	8, 25, 19	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 𝑋)
27	26	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (𝐷‘𝑋))
28		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
30	28, 29	ringidcl 20183	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
31	3, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
32		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
33	29, 32	nzrnz 20430	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
34	1, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
35		1nn0 12397	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
37		deg1vr.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
38	37, 28, 4, 11, 22, 15, 17, 32	deg1tm 26051	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
39	3, 31, 34, 36, 38	syl121anc 1377	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
40	27, 39	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1c1 11007  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  ._gcmg 18980  mulGrpcmgp 20058  1_rcur 20099  Ringcrg 20151  NzRingcnzr 20427  LModclmod 20793  var₁cv1 22088  Poly₁cpl1 22089  deg₁cdg1 25986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-nzr 20428  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-cnfld 21292  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22092  df-vr1 22093  df-ply1 22094  df-coe1 22095  df-mdeg 25987  df-deg1 25988

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  33739  cos9thpiminply  33801