Theorem deg1vr 33948

Description: The degree of the variable polynomial is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1vr.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1vr.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1vr.3	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
deg1vr.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
deg1vr	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)

Proof of Theorem deg1vr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1vr.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		deg1vr.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1sca 22464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6	3, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
7	6	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
8	7	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))
9	4	ply1lmod 22463	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
10	3, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
11		deg1vr.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	11, 4, 12	vr1cl 22429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14	3, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
16	15, 12	mgpbas 20267	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
17		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
18	16, 17	mulg1 19193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
19	14, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
20	19, 14	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
21		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
22		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
23		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
24	12, 21, 22, 23	lmodvs1 21063	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))
25	10, 20, 24	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))
26	8, 25, 19	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 𝑋)
27	26	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (𝐷‘𝑋))
28		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
30	28, 29	ringidcl 20395	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
31	3, 30	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
32		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
33	29, 32	nzrnz 20664	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
34	1, 33	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
35		1nn0 12537	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
37		deg1vr.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
38	37, 28, 4, 11, 22, 15, 17, 32	deg1tm 26329	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
39	3, 31, 34, 36, 38	syl121anc 1402	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
40	27, 39	eqtr3d 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1c1 11118  ℕ₀cn0 12521  Basecbs 17293  Scalarcsca 17337   ·_𝑠 cvsca 17338  0_gc0g 17516  ._gcmg 19179  mulGrpcmgp 20262  1_rcur 20309  Ringcrg 20361  NzRingcnzr 20661  LModclmod 21033  var₁cv1 22388  Poly₁cpl1 22389  deg₁cdg1 26264

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-prds 17524  df-pws 17526  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-nzr 20662  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-cnfld 21575  df-psr 22111  df-mvr 22112  df-mpl 22113  df-opsr 22115  df-psr1 22392  df-vr1 22393  df-ply1 22394  df-coe1 22395  df-mdeg 26265  df-deg1 26266

This theorem is used by:  vietadeg1  34034  rtelextdg2lem  34182  cos9thpiminply  34244