Theorem deg1vr 34124

Description: The degree of the variable polynomial is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1vr.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1vr.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1vr.3	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
deg1vr.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
deg1vr	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)

Proof of Theorem deg1vr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1vr.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		deg1vr.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1sca 22570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6	3, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
7	6	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
8	7	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))
9	4	ply1lmod 22569	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
10	3, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
11		deg1vr.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	11, 4, 12	vr1cl 22535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14	3, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
16	15, 12	mgpbas 20365	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
17		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
18	16, 17	mulg1 19291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
19	14, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
20	19, 14	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
21		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
22		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
23		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
24	12, 21, 22, 23	lmodvs1 21165	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))
25	10, 20, 24	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))
26	8, 25, 19	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 𝑋)
27	26	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (𝐷‘𝑋))
28		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
30	28, 29	ringidcl 20494	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
31	3, 30	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
32		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
33	29, 32	nzrnz 20765	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
34	1, 33	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
35		1nn0 12622	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
37		deg1vr.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
38	37, 28, 4, 11, 22, 15, 17, 32	deg1tm 26437	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
39	3, 31, 34, 36, 38	syl121anc 1402	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
40	27, 39	eqtr3d 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610  ._gcmg 19277  mulGrpcmgp 20360  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  NzRingcnzr 20762  LModclmod 21135  var₁cv1 22494  Poly₁cpl1 22495  deg₁cdg1 26372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-nzr 20763  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-cnfld 21679  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500  df-coe1 22501  df-mdeg 26373  df-deg1 26374

This theorem is used by:  vietadeg1  34210  rtelextdg2lem  34358  cos9thpiminply  34420