Theorem deg1vr 33467

Description: The degree of the variable polynomial is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1vr.1	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1vr.2	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1vr.3	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
deg1vr.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)

Assertion

Ref	Expression
deg1vr	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)

Proof of Theorem deg1vr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1vr.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		deg1vr.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1sca 22238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
7	6	fveq2d 6897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
8	7	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))
9	4	ply1lmod 22237	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
10	3, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
11		deg1vr.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13	11, 4, 12	vr1cl 22203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14	3, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
16	15, 12	mgpbas 20119	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
17		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
18	16, 17	mulg1 19071	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
19	14, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
20	19, 14	eqeltrd 2826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
21		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
22		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
23		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
24	12, 21, 22, 23	lmodvs1 20862	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))
25	10, 20, 24	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))
26	8, 25, 19	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 𝑋)
27	26	fveq2d 6897	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (𝐷‘𝑋))
28		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
30	28, 29	ringidcl 20241	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
31	3, 30	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
32		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
33	29, 32	nzrnz 20493	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
34	1, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
35		1nn0 12534	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
37		deg1vr.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
38	37, 28, 4, 11, 22, 15, 17, 32	deg1tm 26143	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
39	3, 31, 34, 36, 38	syl121anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
40	27, 39	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑋) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  1c1 11150  ℕ₀cn0 12518  Basecbs 17208  Scalarcsca 17264   ·_𝑠 cvsca 17265  0_gc0g 17449  ._gcmg 19057  mulGrpcmgp 20113  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  NzRingcnzr 20490  LModclmod 20832  var₁cv1 22161  Poly₁cpl1 22162  deg₁cdg1 26075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-sup 9478  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-hash 14343  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-prds 17457  df-pws 17459  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-mulg 19058  df-subg 19113  df-ghm 19203  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-nzr 20491  df-subrng 20524  df-subrg 20549  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-cnfld 21340  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-psr1 22165  df-vr1 22166  df-ply1 22167  df-coe1 22168  df-mdeg 26076  df-deg1 26077

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  33599