Theorem mblvon 46677

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a measurable set is the same as its n-dimensional Lebesgue outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mblvon.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
mblvon.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
mblvon	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘𝐴))

Proof of Theorem mblvon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mblvon.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	vonval 46578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) = ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
3	2	fveq1d 6819	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐴))
4		mblvon.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))
5	1	dmvon 46644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
6	4, 5	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
7		fvres 6836	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) → (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
9	3, 8	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  dom cdm 5611   ↾ cres 5613  ‘cfv 6476  Fincfn 8864  CaraGenccaragen 46529  voln*covoln 46574  volncvoln 46576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cc 10321  ax-ac2 10349  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9789  df-card 9827  df-acn 9830  df-ac 10002  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-prod 15806  df-rest 17321  df-topgen 17342  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22804  df-topon 22821  df-bases 22856  df-cmp 23297  df-ovol 25387  df-vol 25388  df-sumge0 46401  df-ome 46528  df-caragen 46530  df-ovoln 46575  df-voln 46577

This theorem is referenced by:  vonvol  46700  vonhoi  46705  von0val  46709