Theorem mblvon 47757

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a measurable set is the same as its n-dimensional Lebesgue outer measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mblvon.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
mblvon.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
mblvon	⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘𝐴))

Proof of Theorem mblvon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mblvon.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	vonval 47658	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln‘𝑋) = ((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
3	2	fveq1d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐴))
4		mblvon.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘𝑋))
5	1	dmvon 47724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
6	4, 5	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
7		fvres 6909	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) → (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘𝑋) ↾ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘𝐴))
9	3, 8	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘𝑋)‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  ‘cfv 6543  Fincfn 8980  CaraGenccaragen 47609  voln*covoln 47654  volncvoln 47656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cc 10520  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-prod 16082  df-rest 17602  df-topgen 17623  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-top 23221  df-topon 23238  df-bases 23273  df-cmp 23714  df-ovol 25794  df-vol 25795  df-sumge0 47481  df-ome 47608  df-caragen 47610  df-ovoln 47655  df-voln 47657

This theorem is used by:  vonvol  47780  vonhoi  47785  von0val  47789