Theorem dvcnre 45887

Description: From complex differentiation to real differentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dvcnre	⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))

Proof of Theorem dvcnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11178	. . 3 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4		ssidd 3978	. 2 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹)) → ℂ ⊆ ℂ)
5		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹)) → ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
6		dvres3 25821	. 2 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))) → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl22anc 838	1 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D 𝐹)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ℝ)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3922  {cpr 4599  dom cdm 5646   ↾ cres 5648  ⟶wf 6515  (class class class)co 7394  ℂcc 11084  ℝcr 11085   D cdv 25771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-iin 4966  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8682  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fi 9380  df-sup 9411  df-inf 9412  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-z 12546  df-dec 12666  df-uz 12810  df-q 12922  df-rp 12966  df-xneg 13085  df-xadd 13086  df-xmul 13087  df-icc 13326  df-fz 13482  df-seq 13977  df-exp 14037  df-cj 15075  df-re 15076  df-im 15077  df-sqrt 15211  df-abs 15212  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-rest 17391  df-topn 17392  df-topgen 17412  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-cnfld 21271  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-nei 22991  df-lp 23029  df-perf 23030  df-cnp 23121  df-haus 23208  df-fil 23739  df-fm 23831  df-flim 23832  df-flf 23833  df-xms 24214  df-ms 24215  df-limc 25774  df-dv 25775

This theorem is referenced by:  dirkeritg  46073  fourierdlem62  46139