Theorem logdiv2 26647

Description: Generalization of relogdiv 26623 to a complex left argument. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
logdiv2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐴 / 𝐵)) = ((log‘𝐴) − (log‘𝐵)))

Proof of Theorem logdiv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcl 26598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3		relogcl 26605	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11294	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
6		efsub 16104	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) − (log‘𝐵))) = ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(log‘𝐵))))
7	2, 5, 6	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (exp‘((log‘𝐴) − (log‘𝐵))) = ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(log‘𝐵))))
8		eflog 26606	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
9	8	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
10		reeflog 26610	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
11	10	3ad2ant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
12	9, 11	oveq12d 7444	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(log‘𝐵))) = (𝐴 / 𝐵))
13	7, 12	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (exp‘((log‘𝐴) − (log‘𝐵))) = (𝐴 / 𝐵))
14	13	fveq2d 6907	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (log‘𝐵)))) = (log‘(𝐴 / 𝐵)))
15	2, 5	negsubd 11629	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) + -(log‘𝐵)) = ((log‘𝐴) − (log‘𝐵)))
16		logrncl 26597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
17	16	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
18	4	renegcld 11693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → -(log‘𝐵) ∈ ℝ)
19		logrnaddcl 26604	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ran log ∧ -(log‘𝐵) ∈ ℝ) → ((log‘𝐴) + -(log‘𝐵)) ∈ ran log)
20	17, 18, 19	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) + -(log‘𝐵)) ∈ ran log)
21	15, 20	eqeltrrd 2827	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) − (log‘𝐵)) ∈ ran log)
22		logef 26611	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) − (log‘𝐵)) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (log‘𝐵)))) = ((log‘𝐴) − (log‘𝐵)))
23	21, 22	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘(exp‘((log‘𝐴) − (log‘𝐵)))) = ((log‘𝐴) − (log‘𝐵)))
24	14, 23	eqtr3d 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (log‘(𝐴 / 𝐵)) = ((log‘𝐴) − (log‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ran crn 5685  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  ℂcc 11158  ℝcr 11159  0cc0 11160   + caddc 11163   − cmin 11496  -cneg 11497   / cdiv 11923  ℝ⁺crp 13030  expce 16065  logclog 26584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9686  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238  ax-addf 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8177  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-er 8736  df-map 8859  df-pm 8860  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9408  df-fi 9456  df-sup 9487  df-inf 9488  df-oi 9555  df-card 9984  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12987  df-rp 13031  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13384  df-ioc 13385  df-ico 13386  df-icc 13387  df-fz 13541  df-fzo 13684  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14024  df-exp 14084  df-fac 14293  df-bc 14322  df-hash 14350  df-shft 15074  df-cj 15106  df-re 15107  df-im 15108  df-sqrt 15242  df-abs 15243  df-limsup 15475  df-clim 15492  df-rlim 15493  df-sum 15693  df-ef 16071  df-sin 16073  df-cos 16074  df-pi 16076  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-starv 17283  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-ip 17286  df-tset 17287  df-ple 17288  df-ds 17290  df-unif 17291  df-hom 17292  df-cco 17293  df-rest 17439  df-topn 17440  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-topgen 17460  df-pt 17461  df-prds 17464  df-xrs 17519  df-qtop 17524  df-imas 17525  df-xps 17527  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-submnd 18776  df-mulg 19064  df-cntz 19313  df-cmn 19782  df-psmet 21337  df-xmet 21338  df-met 21339  df-bl 21340  df-mopn 21341  df-fbas 21342  df-fg 21343  df-cnfld 21346  df-top 22890  df-topon 22907  df-topsp 22929  df-bases 22943  df-cld 23017  df-ntr 23018  df-cls 23019  df-nei 23096  df-lp 23134  df-perf 23135  df-cn 23225  df-cnp 23226  df-haus 23313  df-tx 23560  df-hmeo 23753  df-fil 23844  df-fm 23936  df-flim 23937  df-flf 23938  df-xms 24320  df-ms 24321  df-tms 24322  df-cncf 24892  df-limc 25889  df-dv 25890  df-log 26586

This theorem is referenced by:  lgamcvg2  27086