Theorem evls1fn 33652

Description: Functionality of the subring polynomial evaluation. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1fn.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
evls1fn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
evls1fn.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evls1fn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evls1fn.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
evls1fn	⊢ (𝜑 → 𝑂 Fn 𝑈)

Proof of Theorem evls1fn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1fn.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		evls1fn.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		evls1fn.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↑s (Base‘𝑅)) = (𝑅 ↑s (Base‘𝑅))
6		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑆) = (𝑅 ↾s 𝑆)
7		evls1fn.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
8	3, 4, 5, 6, 7	evls1rhm 22309	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
9	1, 2, 8	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
10		evls1fn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
11		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) = (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))
12	10, 11	rhmf 20456	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
13	9, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
14	13	ffnd 6657	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 Fn 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171   ↾_s cress 17192   ↑_s cpws 17401  CRingccrg 20207   RingHom crh 20441  SubRingcsubrg 20542  Poly₁cpl1 22163   evalSub₁ ces1 22300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-hash 14285  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-hom 17236  df-cco 17237  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-ghm 19180  df-cntz 19284  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-srg 20160  df-ring 20208  df-cring 20209  df-rhm 20444  df-subrng 20519  df-subrg 20543  df-lmod 20853  df-lss 20923  df-lsp 20963  df-assa 21829  df-asp 21830  df-ascl 21831  df-psr 21885  df-mvr 21886  df-mpl 21887  df-opsr 21889  df-evls 22051  df-psr1 22166  df-ply1 22168  df-evls1 22302

This theorem is referenced by:  ply1annidllem  33894