Theorem ply1annidllem 33998

Description: Write the set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 as the kernel of the ring homomorphism 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annidl.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
ply1annidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1annidl.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annidllem.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ply1annidllem	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡𝐹 “ { 0 }))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝   𝐹,𝑞   𝑂,𝑝,𝑞   𝑃,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞,𝑝)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑝)   0 (𝑝)

Proof of Theorem ply1annidllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annidl.q	. 2 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
2		nfv 1934	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑝𝜑
3		fvexd 6882	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) ∈ V)
4		ply1annidllem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
5	2, 3, 4	fnmptd 6662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (Base‘𝑃))
6		ply1annidl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
7		ply1annidl.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
8		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		ply1annidl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		ply1annidl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	6, 7, 8, 9, 10	evls1fn 33756	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 Fn (Base‘𝑃))
12	11	fndmd 6626	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘𝑃))
13	12	fneq2d 6615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn dom 𝑂 ↔ 𝐹 Fn (Base‘𝑃)))
14	5, 13	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝑂)
15		fniniseg2 7043	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝑂 → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 })
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 })
17		fveq2 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑞))
18	17	fveq1d 6869	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑂‘𝑞)‘𝐴))
19	12	eleq2d 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ dom 𝑂 ↔ 𝑞 ∈ (Base‘𝑃)))
20	19	biimpa 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → 𝑞 ∈ (Base‘𝑃))
21		fvexd 6882	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) ∈ V)
22	4, 18, 20, 21	fvmptd3 6999	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑂‘𝑞)‘𝐴))
23	22	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → ((𝐹‘𝑞) = 0 ↔ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ))
24	23	rabbidva 3420	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 } = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
25	16, 24	eqtr2d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } = (◡𝐹 “ { 0 }))
26	1, 25	eqtrid 2809	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡𝐹 “ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {crab 3414  Vcvv 3454  {csn 4582   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647   “ cima 5650   Fn wfn 6516  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266  0_gc0g 17468  CRingccrg 20284  SubRingcsubrg 20619  Poly₁cpl1 22239   evalSub₁ ces1 22376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-srg 20237  df-ring 20285  df-cring 20286  df-rhm 20521  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-assa 21905  df-asp 21906  df-ascl 21907  df-psr 21961  df-mvr 21962  df-mpl 21963  df-opsr 21965  df-evls 22127  df-psr1 22242  df-ply1 22244  df-evls1 22378

This theorem is referenced by:  ply1annidl  33999  ply1annprmidl  34004  algextdeglem4  34017  algextdeglem5  34018