Theorem ply1annidllem 33845

Description: Write the set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 as the kernel of the ring homomorphism 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annidl.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
ply1annidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1annidl.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annidllem.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ply1annidllem	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡𝐹 “ { 0 }))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝   𝐹,𝑞   𝑂,𝑝,𝑞   𝑃,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞,𝑝)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑝)   0 (𝑝)

Proof of Theorem ply1annidllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annidl.q	. 2 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
2		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑝𝜑
3		fvexd 6855	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) ∈ V)
4		ply1annidllem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
5	2, 3, 4	fnmptd 6639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (Base‘𝑃))
6		ply1annidl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
7		ply1annidl.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
8		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		ply1annidl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		ply1annidl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	6, 7, 8, 9, 10	evls1fn 33620	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 Fn (Base‘𝑃))
12	11	fndmd 6603	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘𝑃))
13	12	fneq2d 6592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn dom 𝑂 ↔ 𝐹 Fn (Base‘𝑃)))
14	5, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝑂)
15		fniniseg2 7014	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝑂 → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 })
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 })
17		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑞))
18	17	fveq1d 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑂‘𝑞)‘𝐴))
19	12	eleq2d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ dom 𝑂 ↔ 𝑞 ∈ (Base‘𝑃)))
20	19	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → 𝑞 ∈ (Base‘𝑃))
21		fvexd 6855	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) ∈ V)
22	4, 18, 20, 21	fvmptd3 6971	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑂‘𝑞)‘𝐴))
23	22	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → ((𝐹‘𝑞) = 0 ↔ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ))
24	23	rabbidva 3395	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 } = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
25	16, 24	eqtr2d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } = (◡𝐹 “ { 0 }))
26	1, 25	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡𝐹 “ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429  {csn 4567   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  CRingccrg 20215  SubRingcsubrg 20546  Poly₁cpl1 22140   evalSub₁ ces1 22278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-srg 20168  df-ring 20216  df-cring 20217  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-assa 21833  df-asp 21834  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-evls 22052  df-psr1 22143  df-ply1 22145  df-evls1 22280

This theorem is referenced by:  ply1annidl  33846  ply1annprmidl  33851  algextdeglem4  33864  algextdeglem5  33865