Theorem ply1annidllem 33864

Description: Write the set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 as the kernel of the ring homomorphism 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annidl.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
ply1annidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1annidl.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annidllem.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ply1annidllem	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡𝐹 “ { 0 }))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝   𝐹,𝑞   𝑂,𝑝,𝑞   𝑃,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞,𝑝)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑝)   0 (𝑝)

Proof of Theorem ply1annidllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annidl.q	. 2 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
2		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑝𝜑
3		fvexd 6850	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) ∈ V)
4		ply1annidllem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
5	2, 3, 4	fnmptd 6634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (Base‘𝑃))
6		ply1annidl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
7		ply1annidl.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
8		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		ply1annidl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		ply1annidl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	6, 7, 8, 9, 10	evls1fn 33638	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 Fn (Base‘𝑃))
12	11	fndmd 6598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘𝑃))
13	12	fneq2d 6587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn dom 𝑂 ↔ 𝐹 Fn (Base‘𝑃)))
14	5, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝑂)
15		fniniseg2 7009	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝑂 → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 })
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 })
17		fveq2 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑞))
18	17	fveq1d 6837	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑂‘𝑞)‘𝐴))
19	12	eleq2d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ dom 𝑂 ↔ 𝑞 ∈ (Base‘𝑃)))
20	19	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → 𝑞 ∈ (Base‘𝑃))
21		fvexd 6850	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) ∈ V)
22	4, 18, 20, 21	fvmptd3 6966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑂‘𝑞)‘𝐴))
23	22	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → ((𝐹‘𝑞) = 0 ↔ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ))
24	23	rabbidva 3396	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 } = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
25	16, 24	eqtr2d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } = (◡𝐹 “ { 0 }))
26	1, 25	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡𝐹 “ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625   “ cima 5628   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  0_gc0g 17396  CRingccrg 20209  SubRingcsubrg 20540  Poly₁cpl1 22153   evalSub₁ ces1 22291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-assa 21846  df-asp 21847  df-ascl 21848  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-evls 22065  df-psr1 22156  df-ply1 22158  df-evls1 22293

This theorem is referenced by:  ply1annidl  33865  ply1annprmidl  33870  algextdeglem4  33883  algextdeglem5  33884