Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1annidllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1annidllem 33745
Description: Write the set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 as the kernel of the ring homomorphism 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1annidl.o 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p 𝑃 = (Poly1‘(𝑅s 𝑆))
ply1annidl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a (𝜑𝐴𝐵)
ply1annidl.0 0 = (0g𝑅)
ply1annidl.q 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annidllem.f 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂𝑝)‘𝐴))
Assertion
Ref Expression
ply1annidllem (𝜑𝑄 = (𝐹 “ { 0 }))
Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝   𝐹,𝑞   𝑂,𝑝,𝑞   𝑃,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞,𝑝)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑝)   0 (𝑝)

Proof of Theorem ply1annidllem
StepHypRef Expression
1 ply1annidl.q . 2 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = 0 }
2 nfv 1913 . . . . . 6 𝑝𝜑
3 fvexd 6920 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑂𝑝)‘𝐴) ∈ V)
4 ply1annidllem.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂𝑝)‘𝐴))
52, 3, 4fnmptd 6708 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn (Base‘𝑃))
6 ply1annidl.o . . . . . . . 8 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
7 ply1annidl.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1‘(𝑅s 𝑆))
8 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9 ply1annidl.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
10 ply1annidl.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
116, 7, 8, 9, 10evls1fn 33587 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 Fn (Base‘𝑃))
1211fndmd 6672 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘𝑃))
1312fneq2d 6661 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 Fn dom 𝑂𝐹 Fn (Base‘𝑃)))
145, 13mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn dom 𝑂)
15 fniniseg2 7081 . . . 4 (𝐹 Fn dom 𝑂 → (𝐹 “ { 0 }) = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹𝑞) = 0 })
1614, 15syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ { 0 }) = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹𝑞) = 0 })
17 fveq2 6905 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → (𝑂𝑝) = (𝑂𝑞))
1817fveq1d 6907 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂𝑝)‘𝐴) = ((𝑂𝑞)‘𝐴))
1912eleq2d 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑞 ∈ dom 𝑂𝑞 ∈ (Base‘𝑃)))
2019biimpa 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ dom 𝑂) → 𝑞 ∈ (Base‘𝑃))
21 fvexd 6920 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ dom 𝑂) → ((𝑂𝑞)‘𝐴) ∈ V)
224, 18, 20, 21fvmptd3 7038 . . . . 5 ((𝜑𝑞 ∈ dom 𝑂) → (𝐹𝑞) = ((𝑂𝑞)‘𝐴))
2322eqeq1d 2738 . . . 4 ((𝜑𝑞 ∈ dom 𝑂) → ((𝐹𝑞) = 0 ↔ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = 0 ))
2423rabbidva 3442 . . 3 (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹𝑞) = 0 } = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = 0 })
2516, 24eqtr2d 2777 . 2 (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑞)‘𝐴) = 0 } = (𝐹 “ { 0 }))
261, 25eqtrid 2788 1 (𝜑𝑄 = (𝐹 “ { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {crab 3435  Vcvv 3479  {csn 4625  cmpt 5224  ccnv 5683  dom cdm 5684  cima 5687   Fn wfn 6555  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  s cress 17275  0gc0g 17485  CRingccrg 20232  SubRingcsubrg 20570  Poly1cpl1 22179   evalSub1 ces1 22318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-evls 22099  df-psr1 22182  df-ply1 22184  df-evls1 22320
This theorem is referenced by:  ply1annidl  33746  ply1annprmidl  33751  algextdeglem4  33762  algextdeglem5  33763
  Copyright terms: Public domain W3C validator