Theorem ply1annidllem 33858

Description: Write the set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 as the kernel of the ring homomorphism 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annidl.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
ply1annidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1annidl.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annidllem.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ply1annidllem	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡𝐹 “ { 0 }))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝   𝐹,𝑞   𝑂,𝑝,𝑞   𝑃,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞,𝑝)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑝)   0 (𝑝)

Proof of Theorem ply1annidllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annidl.q	. 2 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
2		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑝𝜑
3		fvexd 6849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) ∈ V)
4		ply1annidllem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
5	2, 3, 4	fnmptd 6633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (Base‘𝑃))
6		ply1annidl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
7		ply1annidl.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
8		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		ply1annidl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		ply1annidl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	6, 7, 8, 9, 10	evls1fn 33641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 Fn (Base‘𝑃))
12	11	fndmd 6597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘𝑃))
13	12	fneq2d 6586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn dom 𝑂 ↔ 𝐹 Fn (Base‘𝑃)))
14	5, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝑂)
15		fniniseg2 7007	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝑂 → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 })
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 })
17		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑞))
18	17	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑂‘𝑞)‘𝐴))
19	12	eleq2d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ dom 𝑂 ↔ 𝑞 ∈ (Base‘𝑃)))
20	19	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → 𝑞 ∈ (Base‘𝑃))
21		fvexd 6849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) ∈ V)
22	4, 18, 20, 21	fvmptd3 6964	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑂‘𝑞)‘𝐴))
23	22	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → ((𝐹‘𝑞) = 0 ↔ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ))
24	23	rabbidva 3405	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 } = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
25	16, 24	eqtr2d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } = (◡𝐹 “ { 0 }))
26	1, 25	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡𝐹 “ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440  {csn 4580   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624   “ cima 5627   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  0_gc0g 17359  CRingccrg 20169  SubRingcsubrg 20502  Poly₁cpl1 22117   evalSub₁ ces1 22257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-assa 21808  df-asp 21809  df-ascl 21810  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-evls 22029  df-psr1 22120  df-ply1 22122  df-evls1 22259

This theorem is referenced by:  ply1annidl  33859  ply1annprmidl  33864  algextdeglem4  33877  algextdeglem5  33878