Theorem ply1annidllem 33668

Description: Write the set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 as the kernel of the ring homomorphism 𝐹 mapping polynomials 𝑝 to their subring evaluation at a given point 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annidl.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
ply1annidl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
ply1annidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1annidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1annidl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
ply1annidl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1annidl.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
ply1annidllem.f	⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ply1annidllem	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡𝐹 “ { 0 }))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝   𝐹,𝑞   𝑂,𝑝,𝑞   𝑃,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞,𝑝)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝐹(𝑝)   0 (𝑝)

Proof of Theorem ply1annidllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annidl.q	. 2 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
2		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑝𝜑
3		fvexd 6837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) ∈ V)
4		ply1annidllem.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
5	2, 3, 4	fnmptd 6623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (Base‘𝑃))
6		ply1annidl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
7		ply1annidl.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝑆))
8		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		ply1annidl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		ply1annidl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
11	6, 7, 8, 9, 10	evls1fn 33495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 Fn (Base‘𝑃))
12	11	fndmd 6587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘𝑃))
13	12	fneq2d 6576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn dom 𝑂 ↔ 𝐹 Fn (Base‘𝑃)))
14	5, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝑂)
15		fniniseg2 6996	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝑂 → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 })
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ { 0 }) = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 })
17		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑂‘𝑝) = (𝑂‘𝑞))
18	17	fveq1d 6824	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = ((𝑂‘𝑞)‘𝐴))
19	12	eleq2d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ dom 𝑂 ↔ 𝑞 ∈ (Base‘𝑃)))
20	19	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → 𝑞 ∈ (Base‘𝑃))
21		fvexd 6837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) ∈ V)
22	4, 18, 20, 21	fvmptd3 6953	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑂‘𝑞)‘𝐴))
23	22	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑂) → ((𝐹‘𝑞) = 0 ↔ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 ))
24	23	rabbidva 3401	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ (𝐹‘𝑞) = 0 } = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 })
25	16, 24	eqtr2d 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 } = (◡𝐹 “ { 0 }))
26	1, 25	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡𝐹 “ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3394  Vcvv 3436  {csn 4577   ↦ cmpt 5173  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619   “ cima 5622   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  0_gc0g 17343  CRingccrg 20119  SubRingcsubrg 20454  Poly₁cpl1 22059   evalSub₁ ces1 22198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-assa 21760  df-asp 21761  df-ascl 21762  df-psr 21816  df-mvr 21817  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-evls 21979  df-psr1 22062  df-ply1 22064  df-evls1 22200

This theorem is referenced by:  ply1annidl  33669  ply1annprmidl  33674  algextdeglem4  33687  algextdeglem5  33688