Theorem evlscl 41791

Description: A polynomial over the ring 𝑅 evaluates to an element in 𝑅. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlscl.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
evlscl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlscl.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
evlscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlscl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlscl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlscl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evlscl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
evlscl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlscl	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem evlscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
2		evlscl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
4		evlscl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		ovexd 7455	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
6		evlscl.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		evlscl.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		evlscl.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
9		evlscl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
10		evlscl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
11	8, 9, 10, 1, 2	evlsrhm 22034	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
12	6, 4, 7, 11	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
13		evlscl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
14	13, 3	rhmf 20424	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
16		evlscl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
17	15, 16	ffvelcdmd 7095	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
18	1, 2, 3, 4, 5, 17	pwselbas 17471	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
19		evlscl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
20	18, 19	ffvelcdmd 7095	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8845  Basecbs 17180   ↾_s cress 17209   ↑_s cpws 17428  CRingccrg 20174   RingHom crh 20408  SubRingcsubrg 20506   mPoly cmpl 21839   evalSub ces 22016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-srg 20127  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20411  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-assa 21787  df-asp 21788  df-ascl 21789  df-psr 21842  df-mvr 21843  df-mpl 21844  df-evls 22018

This theorem is referenced by:  evlsmaprhm  41803