Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlscl 41661
Description: A polynomial over the ring 𝑅 evaluates to an element in 𝑅. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlscl.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)β€˜π‘†)
evlscl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlscl.u π‘ˆ = (𝑅 β†Ύs 𝑆)
evlscl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evlscl.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
evlscl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlscl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evlscl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
evlscl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
evlscl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlscl (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem evlscl
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . 3 (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
2 evlscl.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2724 . . 3 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
4 evlscl.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
5 ovexd 7437 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
6 evlscl.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
7 evlscl.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
8 evlscl.q . . . . . . 7 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)β€˜π‘†)
9 evlscl.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
10 evlscl.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (𝑅 β†Ύs 𝑆)
118, 9, 10, 1, 2evlsrhm 21982 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
126, 4, 7, 11syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
13 evlscl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
1413, 3rhmf 20383 . . . . 5 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
1512, 14syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
16 evlscl.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
1715, 16ffvelcdmd 7078 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
181, 2, 3, 4, 5, 17pwselbas 17440 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΉ):(𝐾 ↑m 𝐼)⟢𝐾)
19 evlscl.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
2018, 19ffvelcdmd 7078 1 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ↑m cmap 8817  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178   ↑s cpws 17397  CRingccrg 20135   RingHom crh 20367  SubRingcsubrg 20465   mPoly cmpl 21789   evalSub ces 21964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-srg 20088  df-ring 20136  df-cring 20137  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-assa 21737  df-asp 21738  df-ascl 21739  df-psr 21792  df-mvr 21793  df-mpl 21794  df-evls 21966
This theorem is referenced by:  evlsmaprhm  41673
  Copyright terms: Public domain W3C validator