Theorem evlscl 42551

Description: A polynomial over the ring 𝑅 evaluates to an element in 𝑅. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlscl.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
evlscl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlscl.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
evlscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlscl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlscl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlscl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evlscl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
evlscl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlscl	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem evlscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
2		evlscl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
4		evlscl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		ovexd 7388	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
6		evlscl.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		evlscl.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		evlscl.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
9		evlscl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
10		evlscl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
11	8, 9, 10, 1, 2	evlsrhm 22012	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
12	6, 4, 7, 11	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
13		evlscl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
14	13, 3	rhmf 20389	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
16		evlscl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
17	15, 16	ffvelcdmd 7023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
18	1, 2, 3, 4, 5, 17	pwselbas 17412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
19		evlscl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
20	18, 19	ffvelcdmd 7023	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  Basecbs 17139   ↾_s cress 17160   ↑_s cpws 17369  CRingccrg 20138   RingHom crh 20373  SubRingcsubrg 20473   mPoly cmpl 21832   evalSub ces 21996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-seq 13928  df-hash 14257  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-hom 17204  df-cco 17205  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-prds 17370  df-pws 17372  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18676  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-mulg 18966  df-subg 19021  df-ghm 19111  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-srg 20091  df-ring 20139  df-cring 20140  df-rhm 20376  df-subrng 20450  df-subrg 20474  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894  df-assa 21779  df-asp 21780  df-ascl 21781  df-psr 21835  df-mvr 21836  df-mpl 21837  df-evls 21998

This theorem is referenced by:  evlsmaprhm  42563