Theorem evlscl 42505

Description: A polynomial over the ring 𝑅 evaluates to an element in 𝑅. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlscl.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
evlscl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlscl.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
evlscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlscl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlscl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlscl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
evlscl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
evlscl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlscl	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem evlscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
2		evlscl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
4		evlscl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		ovexd 7478	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
6		evlscl.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		evlscl.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		evlscl.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝑆)
9		evlscl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
10		evlscl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
11	8, 9, 10, 1, 2	evlsrhm 22128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
12	6, 4, 7, 11	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
13		evlscl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
14	13, 3	rhmf 20505	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
16		evlscl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
17	15, 16	ffvelcdmd 7114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
18	1, 2, 3, 4, 5, 17	pwselbas 17543	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐹):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
19		evlscl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
20	18, 19	ffvelcdmd 7114	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ⟶wf 6564  ‘cfv 6568  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8878  Basecbs 17252   ↾_s cress 17281   ↑_s cpws 17500  CRingccrg 20255   RingHom crh 20489  SubRingcsubrg 20589   mPoly cmpl 21942   evalSub ces 22112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-se 5651  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-isom 6577  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7708  df-ofr 7709  df-om 7898  df-1st 8024  df-2nd 8025  df-supp 8196  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-1o 8516  df-2o 8517  df-er 8757  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8950  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-fin 9001  df-fsupp 9426  df-sup 9505  df-oi 9573  df-card 10002  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-4 12352  df-5 12353  df-6 12354  df-7 12355  df-8 12356  df-9 12357  df-n0 12548  df-z 12634  df-dec 12753  df-uz 12898  df-fz 13562  df-fzo 13706  df-seq 14047  df-hash 14374  df-struct 17188  df-sets 17205  df-slot 17223  df-ndx 17235  df-base 17253  df-ress 17282  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-mhm 18812  df-submnd 18813  df-grp 18970  df-minusg 18971  df-sbg 18972  df-mulg 19102  df-subg 19157  df-ghm 19247  df-cntz 19351  df-cmn 19818  df-abl 19819  df-mgp 20156  df-rng 20174  df-ur 20203  df-srg 20208  df-ring 20256  df-cring 20257  df-rhm 20492  df-subrng 20566  df-subrg 20591  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-assa 21890  df-asp 21891  df-ascl 21892  df-psr 21945  df-mvr 21946  df-mpl 21947  df-evls 22114

This theorem is referenced by:  evlsmaprhm  42517