Theorem lgricngricex 48291

Description: There are two different locally isomorphic graphs which are not isomorphic. (Contributed by AV, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lgricngricex	⊢ ∃𝑔∃ℎ(𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ)

Distinct variable group:   𝑔,ℎ

Proof of Theorem lgricngricex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpg5grlic 48256	. 2 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)
2		gpg5ngric 48290	. 2 ⊢ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)
3		ovex 7388	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ∈ V
4		ovex 7388	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ V
5		breq12 5100	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → (𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ↔ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
6		breq12 5100	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → (𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ ↔ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
7	6	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → (¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ ↔ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
8	5, 7	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → ((𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ) ↔ ((5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2) ∧ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2))))
9	3, 4, 8	spc2ev 3558	. 2 ⊢ (((5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2) ∧ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)) → ∃𝑔∃ℎ(𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ))
10	1, 2, 9	mp2an 692	1 ⊢ ∃𝑔∃ℎ(𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  1c1 11018  2c2 12191  5c5 12194   ≃_𝑔𝑟 cgric 48038   ≃_𝑙𝑔𝑟 cgrlic 48139   gPetersenGr cgpg 48202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-dju 9805  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-ico 13258  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-ceil 13704  df-mod 13781  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-word 14428  df-concat 14485  df-s1 14511  df-s2 14762  df-s3 14763  df-s4 14764  df-s5 14765  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-dvds 16171  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-edgf 28988  df-vtx 28997  df-iedg 28998  df-edg 29047  df-uhgr 29057  df-ushgr 29058  df-upgr 29081  df-umgr 29082  df-uspgr 29149  df-usgr 29150  df-subgr 29267  df-nbgr 29332  df-wlks 29599  df-trls 29690  df-pths 29713  df-cycls 29786  df-clnbgr 47981  df-isubgr 48023  df-grim 48040  df-gric 48043  df-stgr 48114  df-grlim 48140  df-grlic 48143  df-gpg 48203

This theorem is referenced by: (None)