Theorem lgricngricex 48751

Description: There are two different locally isomorphic graphs which are not isomorphic. (Contributed by AV, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lgricngricex	⊢ ∃𝑔∃ℎ(𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ)

Distinct variable group:   𝑔,ℎ

Proof of Theorem lgricngricex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpg5grlic 48716	. 2 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)
2		gpg5ngric 48750	. 2 ⊢ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)
3		ovex 7429	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ∈ V
4		ovex 7429	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ V
5		breq12 5105	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → (𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ↔ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
6		breq12 5105	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → (𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ ↔ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
7	6	notbid 320	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → (¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ ↔ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
8	5, 7	anbi12d 641	. . 3 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → ((𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ) ↔ ((5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2) ∧ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2))))
9	3, 4, 8	spc2ev 3566	. 2 ⊢ (((5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2) ∧ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)) → ∃𝑔∃ℎ(𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ))
10	1, 2, 9	mp2an 702	1 ⊢ ∃𝑔∃ℎ(𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1560  ∃wex 1799   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  1c1 11074  2c2 12272  5c5 12275   ≃_𝑔𝑟 cgric 48498   ≃_𝑙𝑔𝑟 cgrlic 48599   gPetersenGr cgpg 48662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-ico 13355  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-ceil 13803  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-word 14527  df-concat 14584  df-s1 14610  df-s2 14861  df-s3 14862  df-s4 14863  df-s5 14864  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-dvds 16287  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-edgf 29190  df-vtx 29199  df-iedg 29200  df-edg 29249  df-uhgr 29259  df-ushgr 29260  df-upgr 29283  df-umgr 29284  df-uspgr 29351  df-usgr 29352  df-subgr 29469  df-nbgr 29534  df-wlks 29800  df-trls 29891  df-pths 29914  df-cycls 29987  df-clnbgr 48441  df-isubgr 48483  df-grim 48500  df-gric 48503  df-stgr 48574  df-grlim 48600  df-grlic 48603  df-gpg 48663

This theorem is referenced by: (None)