Theorem lgricngricex 49110

Description: There are two different locally isomorphic graphs which are not isomorphic. (Contributed by AV, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lgricngricex	⊢ ∃𝑔∃ℎ(𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ)

Distinct variable group:   𝑔,ℎ

Proof of Theorem lgricngricex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpg5grlic 49075	. 2 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)
2		gpg5ngric 49109	. 2 ⊢ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)
3		ovex 7449	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ∈ V
4		ovex 7449	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ V
5		breq12 5108	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → (𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ↔ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
6		breq12 5108	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → (𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ ↔ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
7	6	notbid 321	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → (¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ ↔ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
8	5, 7	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → ((𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ) ↔ ((5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2) ∧ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2))))
9	3, 4, 8	spc2ev 3561	. 2 ⊢ (((5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2) ∧ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)) → ∃𝑔∃ℎ(𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ))
10	1, 2, 9	mp2an 705	1 ⊢ ∃𝑔∃ℎ(𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   class class class wbr 5103  (class class class)co 7416  1c1 11150  2c2 12344  5c5 12347   ≃_𝑔𝑟 cgric 48857   ≃_𝑙𝑔𝑟 cgrlic 48958   gPetersenGr cgpg 49021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-inf 9420  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-xnn0 12627  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-rp 13068  df-ico 13429  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-ceil 13879  df-mod 13956  df-seq 14091  df-exp 14151  df-hash 14420  df-word 14604  df-concat 14661  df-s1 14688  df-s2 14944  df-s3 14945  df-s4 14946  df-s5 14947  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-dvds 16368  df-struct 17264  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-edgf 29478  df-vtx 29487  df-iedg 29488  df-edg 29537  df-uhgr 29547  df-ushgr 29548  df-upgr 29571  df-umgr 29572  df-uspgr 29642  df-usgr 29643  df-subgr 29760  df-nbgr 29825  df-wlks 30091  df-trls 30186  df-pths 30210  df-cycls 30285  df-clnbgr 48800  df-isubgr 48842  df-grim 48859  df-gric 48862  df-stgr 48933  df-grlim 48959  df-grlic 48962  df-gpg 49022

This theorem is used by: (None)