Theorem lgricngricex 48109

Description: There are two different locally isomorphic graphs which are not isomorphic. (Contributed by AV, 23-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lgricngricex	⊢ ∃𝑔∃ℎ(𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ)

Distinct variable group:   𝑔,ℎ

Proof of Theorem lgricngricex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpg5grlic 48074	. 2 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)
2		gpg5ngric 48108	. 2 ⊢ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)
3		ovex 7422	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 1) ∈ V
4		ovex 7422	. . 3 ⊢ (5 gPetersenGr 2) ∈ V
5		breq12 5114	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → (𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ↔ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
6		breq12 5114	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → (𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ ↔ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
7	6	notbid 318	. . . 4 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → (¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ ↔ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)))
8	5, 7	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝑔 = (5 gPetersenGr 1) ∧ ℎ = (5 gPetersenGr 2)) → ((𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ) ↔ ((5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2) ∧ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2))))
9	3, 4, 8	spc2ev 3576	. 2 ⊢ (((5 gPetersenGr 1) ≃𝑙𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2) ∧ ¬ (5 gPetersenGr 1) ≃𝑔𝑟 (5 gPetersenGr 2)) → ∃𝑔∃ℎ(𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ))
10	1, 2, 9	mp2an 692	1 ⊢ ∃𝑔∃ℎ(𝑔 ≃𝑙𝑔𝑟 ℎ ∧ ¬ 𝑔 ≃𝑔𝑟 ℎ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389  1c1 11075  2c2 12242  5c5 12245   ≃_𝑔𝑟 cgric 47866   ≃_𝑙𝑔𝑟 cgrlic 47966   gPetersenGr cgpg 48021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-rp 12958  df-ico 13318  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-ceil 13761  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-word 14485  df-concat 14542  df-s1 14567  df-s2 14820  df-s3 14821  df-s4 14822  df-s5 14823  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-dvds 16229  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-edgf 28922  df-vtx 28931  df-iedg 28932  df-edg 28981  df-uhgr 28991  df-ushgr 28992  df-upgr 29015  df-umgr 29016  df-uspgr 29083  df-usgr 29084  df-subgr 29201  df-nbgr 29266  df-wlks 29533  df-trls 29626  df-pths 29650  df-cycls 29723  df-clnbgr 47810  df-isubgr 47851  df-grim 47868  df-gric 47871  df-stgr 47941  df-grlim 47967  df-grlic 47970  df-gpg 48022

This theorem is referenced by: (None)