Theorem hhssims2 29513

Description: Induced metric of a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhssims2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssims2.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
hhssims2.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssims2	⊢ 𝐷 = ((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻))

Proof of Theorem hhssims2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssims2.3	. 2 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
2		hhssims2.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
3		hhssims2.2	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
4		eqid 2739	. . 3 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻))
5	2, 3, 4	hhssims 29512	. 2 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻)) = (IndMet‘𝑊)
6	1, 5	eqtr4i 2770	1 ⊢ 𝐷 = ((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻))

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ⟨cop 4564   × cxp 5577   ↾ cres 5581   ∘ ccom 5583  ‘cfv 6415  ℂcc 10775  IndMetcims 28829   +_ℎ cva 29158   ·_ℎ csm 29159  norm_ℎcno 29161   −_ℎ cmv 29163   S_ℋ csh 29166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5203  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854  ax-pre-sup 10855  ax-addf 10856  ax-mulf 10857  ax-hilex 29237  ax-hfvadd 29238  ax-hvcom 29239  ax-hvass 29240  ax-hv0cl 29241  ax-hvaddid 29242  ax-hfvmul 29243  ax-hvmulid 29244  ax-hvmulass 29245  ax-hvdistr1 29246  ax-hvdistr2 29247  ax-hvmul0 29248  ax-hfi 29317  ax-his1 29320  ax-his2 29321  ax-his3 29322  ax-his4 29323

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-1st 7801  df-2nd 7802  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-er 8433  df-map 8552  df-pm 8553  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-sup 9106  df-inf 9107  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-div 11538  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-n0 12139  df-z 12225  df-uz 12487  df-q 12593  df-rp 12635  df-xneg 12752  df-xadd 12753  df-xmul 12754  df-icc 12990  df-seq 13625  df-exp 13686  df-cj 14713  df-re 14714  df-im 14715  df-sqrt 14849  df-abs 14850  df-topgen 17046  df-psmet 20477  df-xmet 20478  df-met 20479  df-bl 20480  df-mopn 20481  df-top 21926  df-topon 21943  df-bases 21979  df-lm 22263  df-haus 22349  df-grpo 28731  df-gid 28732  df-ginv 28733  df-gdiv 28734  df-ablo 28783  df-vc 28797  df-nv 28830  df-va 28833  df-ba 28834  df-sm 28835  df-0v 28836  df-vs 28837  df-nmcv 28838  df-ims 28839  df-ssp 28960  df-hnorm 29206  df-hba 29207  df-hvsub 29209  df-hlim 29210  df-sh 29445  df-ch 29459  df-ch0 29491

This theorem is referenced by:  hhsscms  29516