Theorem lcdvbasess 41553

Description: The vector base set of the closed kernel dual space is a set of functionals. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvbasess.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvbasess.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbasess.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdvbasess.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbasess.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcdvbasess.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdvbasess	⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐹)

Proof of Theorem lcdvbasess

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvbasess.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvbasess.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdvbasess.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
5		lcdvbasess.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		lcdvbasess.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2740	. . 3 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2740	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}
9		lcdvbasess.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcdvbase 41552	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
11		ssrab2 4103	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ⊆ 𝐹
12	10, 11	eqsstrdi 4063	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6575  Basecbs 17260  LFnlclfn 39015  LKerclk 39043  HLchlt 39308  LHypclh 39943  DVecHcdvh 41037  ocHcoch 41306  LCDualclcd 41545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-riotaBAD 38911

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-tpos 8269  df-undef 8316  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-0g 17503  df-proset 18367  df-poset 18385  df-plt 18402  df-lub 18418  df-glb 18419  df-join 18420  df-meet 18421  df-p0 18497  df-p1 18498  df-lat 18504  df-clat 18571  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20362  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-drng 20755  df-lmod 20884  df-lvec 21127  df-ldual 39082  df-oposet 39134  df-ol 39136  df-oml 39137  df-covers 39224  df-ats 39225  df-atl 39256  df-cvlat 39280  df-hlat 39309  df-llines 39457  df-lplanes 39458  df-lvols 39459  df-lines 39460  df-psubsp 39462  df-pmap 39463  df-padd 39755  df-lhyp 39947  df-laut 39948  df-ldil 40063  df-ltrn 40064  df-trl 40118  df-tendo 40714  df-edring 40716  df-dvech 41038  df-lcdual 41546

This theorem is referenced by:  lcdvbaselfl  41554