Theorem lcdvbaselfl 42470

Description: A vector in the base set of the closed kernel dual space is a functional. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvbasess.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvbasess.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbasess.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdvbasess.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbasess.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcdvbasess.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdvbaselfl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lcdvbaselfl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lcdvbaselfl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvbasess.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdvbasess.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvbasess.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
4		lcdvbasess.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		lcdvbasess.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lcdvbasess.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lcdvbasess 42469	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐹)
8		lcdvbaselfl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9	7, 8	sseldd 3935	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  LFnlclfn 39932  HLchlt 40225  LHypclh 40859  DVecHcdvh 41953  LCDualclcd 42461

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-riotaBAD 39828

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-0g 17530  df-proset 18386  df-poset 18405  df-plt 18420  df-lub 18436  df-glb 18437  df-join 18438  df-meet 18439  df-p0 18515  df-p1 18516  df-lat 18524  df-clat 18591  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-oppr 20482  df-dvdsr 20502  df-unit 20503  df-invr 20533  df-dvr 20546  df-drng 20896  df-lmod 21050  df-lvec 21291  df-ldual 39999  df-oposet 40051  df-ol 40053  df-oml 40054  df-covers 40141  df-ats 40142  df-atl 40173  df-cvlat 40197  df-hlat 40226  df-llines 40373  df-lplanes 40374  df-lvols 40375  df-lines 40376  df-psubsp 40378  df-pmap 40379  df-padd 40671  df-lhyp 40863  df-laut 40864  df-ldil 40979  df-ltrn 40980  df-trl 41034  df-tendo 41630  df-edring 41632  df-dvech 41954  df-lcdual 42462

This theorem is used by:  lcdvbasecl  42471  lcdvaddval  42473  lcdvsval  42479  lcdlkreqN  42497  lcdlkreq2N  42498  mapd0  42540  hvmaplfl  42642  hdmapln1  42781  hdmaplna1  42782  hdmaplns1  42783  hdmaplnm1  42784  hdmaplkr  42788  hdmapellkr  42789  hdmapip0  42790  hdmapinvlem1  42793