Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihjatc3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihjatc3 40786
Description: Isomorphism H of join with an atom. (Contributed by NM, 26-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjatc1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihjatc1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihjatc1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihjatc1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihjatc1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihjatc1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihjatc1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjatc1.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dihjatc1.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dihjatc3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑄)) = ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)))
Proof of Theorem dihjatc3
StepHypRef Expression
1 dihjatc1.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dihjatc1.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dihjatc1.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dihjatc1.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 dihjatc1.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
6 dihjatc1.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 dihjatc1.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 dihjatc1.s . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
9 dihjatc1.i . . 3 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dihjatc1 40784 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑄)) = ((πΌβ€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
11 simp11 1201 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
123, 7, 11dvhlmod 40583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
13 lmodabl 20791 . . . 4 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ π‘ˆ ∈ Abel)
1412, 13syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ Abel)
15 eqid 2728 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
1615lsssssubg 20841 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
1712, 16syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
18 simp11l 1282 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1918hllatd 38836 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
20 simp12 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
21 simp13 1203 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
221, 5latmcl 18431 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2319, 20, 21, 22syl3anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
241, 3, 9, 7, 15dihlss 40723 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
2511, 23, 24syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
2617, 25sseldd 3981 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
27 simp2l 1197 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
281, 6atbase 38761 . . . . . 6 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
301, 3, 9, 7, 15dihlss 40723 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘„) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3111, 29, 30syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘„) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3217, 31sseldd 3981 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘„) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
338lsmcom 19812 . . 3 ((π‘ˆ ∈ Abel ∧ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΌβ€˜π‘„) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)) = ((πΌβ€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
3414, 26, 32, 33syl3anc 1369 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)) = ((πΌβ€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
3510, 34eqtr4d 2771 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑄)) = ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  Latclat 18422  SubGrpcsubg 19074  LSSumclsm 19588  Abelcabl 19735  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DVecHcdvh 40551  DIsoHcdih 40701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tendo 40228  df-edring 40230  df-disoa 40502  df-dvech 40552  df-dib 40612  df-dic 40646  df-dih 40702
This theorem is referenced by:  dihjatc  40890
  Copyright terms: Public domain W3C validator