Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dihjatc1.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | dihjatc1.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | dihjatc1.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
4 | | dihjatc1.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
5 | | dihjatc1.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
6 | | dihjatc1.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | dihjatc1.u |
. . 3
β’ π = ((DVecHβπΎ)βπ) |
8 | | dihjatc1.s |
. . 3
β’ β =
(LSSumβπ) |
9 | | dihjatc1.i |
. . 3
β’ πΌ = ((DIsoHβπΎ)βπ) |
10 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | dihjatc1 39824 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΌβ((π β§ π) β¨ π)) = ((πΌβπ) β (πΌβ(π β§ π)))) |
11 | | simp11 1204 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
12 | 3, 7, 11 | dvhlmod 39623 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β LMod) |
13 | | lmodabl 20413 |
. . . 4
β’ (π β LMod β π β Abel) |
14 | 12, 13 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β Abel) |
15 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(LSubSpβπ) =
(LSubSpβπ) |
16 | 15 | lsssssubg 20463 |
. . . . 5
β’ (π β LMod β
(LSubSpβπ) β
(SubGrpβπ)) |
17 | 12, 16 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (LSubSpβπ) β (SubGrpβπ)) |
18 | | simp11l 1285 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β πΎ β HL) |
19 | 18 | hllatd 37876 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β πΎ β Lat) |
20 | | simp12 1205 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β π΅) |
21 | | simp13 1206 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β π΅) |
22 | 1, 5 | latmcl 18337 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
23 | 19, 20, 21, 22 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (π β§ π) β π΅) |
24 | 1, 3, 9, 7, 15 | dihlss 39763 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β§ π) β π΅) β (πΌβ(π β§ π)) β (LSubSpβπ)) |
25 | 11, 23, 24 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΌβ(π β§ π)) β (LSubSpβπ)) |
26 | 17, 25 | sseldd 3949 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΌβ(π β§ π)) β (SubGrpβπ)) |
27 | | simp2l 1200 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β π΄) |
28 | 1, 6 | atbase 37801 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
29 | 27, 28 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β π΅) |
30 | 1, 3, 9, 7, 15 | dihlss 39763 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅) β (πΌβπ) β (LSubSpβπ)) |
31 | 11, 29, 30 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΌβπ) β (LSubSpβπ)) |
32 | 17, 31 | sseldd 3949 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΌβπ) β (SubGrpβπ)) |
33 | 8 | lsmcom 19644 |
. . 3
β’ ((π β Abel β§ (πΌβ(π β§ π)) β (SubGrpβπ) β§ (πΌβπ) β (SubGrpβπ)) β ((πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ)) = ((πΌβπ) β (πΌβ(π β§ π)))) |
34 | 14, 26, 32, 33 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β ((πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ)) = ((πΌβπ) β (πΌβ(π β§ π)))) |
35 | 10, 34 | eqtr4d 2776 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΌβ((π β§ π) β¨ π)) = ((πΌβ(π β§ π)) β (πΌβπ))) |