Theorem lclkrlem2b 40892

Description: Lemma for lclkr 40917. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2a.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2a.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lclkrlem2a.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2a.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lclkrlem2a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2a.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2a.e	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2b.da	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2b	⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lclkrlem2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2a.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrlem2a.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrlem2a.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2a.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lclkrlem2a.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		lclkrlem2a.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
7		lclkrlem2a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		lclkrlem2a.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
9		lclkrlem2a.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		lclkrlem2a.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13		lclkrlem2a.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15		lclkrlem2a.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17		lclkrlem2a.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ ( ⊥ ‘{𝑌}))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → ( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ ( ⊥ ‘{𝑌}))
19		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 19	lclkrlem2a 40891	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) ∈ 𝐴)
21	1, 3, 9	dvhlmod 40494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22		lmodabl 20755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Abel)
24		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
25	24	lsssssubg 20805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
26	21, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
27	13	eldifad 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
28	4, 24, 7	lspsncl 20824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29	21, 27, 28	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	26, 29	sseldd 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
31	15	eldifad 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
32	4, 24, 7	lspsncl 20824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
33	21, 31, 32	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	26, 33	sseldd 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
35	6	lsmcom 19778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Abel ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
36	23, 30, 34, 35	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
37	36	ineq1d 4206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})))
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})))
39	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
40	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
42	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
43	17	necomd 2990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑌}) ≠ ( ⊥ ‘{𝑋}))
44	43	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → ( ⊥ ‘{𝑌}) ≠ ( ⊥ ‘{𝑋}))
45		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}))
46	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 39, 40, 41, 42, 44, 45	lclkrlem2a 40891	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) ∈ 𝐴)
47	38, 46	eqeltrd 2827	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) ∈ 𝐴)
48		lclkrlem2b.da	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})))
49	20, 47, 48	mpjaodan 955	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3940   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  0_gc0g 17394  SubGrpcsubg 19047  LSSumclsm 19554  Abelcabl 19701  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LSAtomsclsa 38357  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DVecHcdvh 40462  ocHcoch 40731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-lshyp 38360  df-lcv 38402  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tgrp 40127  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-dveca 40387  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613  df-doch 40732  df-djh 40779

This theorem is referenced by:  lclkrlem2c  40893