Theorem lclkrlem2b 40374

Description: Lemma for lclkr 40399. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2a.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2a.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lclkrlem2a.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2a.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lclkrlem2a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2a.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2a.e	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2b.da	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2b	⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lclkrlem2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2a.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lclkrlem2a.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lclkrlem2a.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2a.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lclkrlem2a.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		lclkrlem2a.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
7		lclkrlem2a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8		lclkrlem2a.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
9		lclkrlem2a.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	9	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		lclkrlem2a.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12	11	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13		lclkrlem2a.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15		lclkrlem2a.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
16	15	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17		lclkrlem2a.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ ( ⊥ ‘{𝑌}))
18	17	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → ( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ ( ⊥ ‘{𝑌}))
19		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 19	lclkrlem2a 40373	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) ∈ 𝐴)
21	1, 3, 9	dvhlmod 39976	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22		lmodabl 20518	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Abel)
24		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
25	24	lsssssubg 20568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
26	21, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
27	13	eldifad 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
28	4, 24, 7	lspsncl 20587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29	21, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	26, 29	sseldd 3983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
31	15	eldifad 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
32	4, 24, 7	lspsncl 20587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
33	21, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	26, 33	sseldd 3983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
35	6	lsmcom 19725	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Abel ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
36	23, 30, 34, 35	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
37	36	ineq1d 4211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})))
38	37	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})))
39	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
40	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
42	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
43	17	necomd 2996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑌}) ≠ ( ⊥ ‘{𝑋}))
44	43	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → ( ⊥ ‘{𝑌}) ≠ ( ⊥ ‘{𝑋}))
45		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}))
46	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 39, 40, 41, 42, 44, 45	lclkrlem2a 40373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) ∈ 𝐴)
47	38, 46	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) ∈ 𝐴)
48		lclkrlem2b.da	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵})))
49	20, 47, 48	mpjaodan 957	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3945   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  SubGrpcsubg 18999  LSSumclsm 19501  Abelcabl 19648  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  LSpanclspn 20581  LSAtomsclsa 37839  HLchlt 38215  LHypclh 38850  DVecHcdvh 39944  ocHcoch 40213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lsatoms 37841  df-lshyp 37842  df-lcv 37884  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tgrp 39609  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-dveca 39869  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095  df-doch 40214  df-djh 40261

This theorem is referenced by:  lclkrlem2c  40375