Theorem lnrfgtr 43650

Description: A submodule of a finitely generated module over a Noetherian ring is finitely generated. Often taken as the definition of Noetherian ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnrfg.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lnrfgtr.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑀)
lnrfgtr.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 ↾s 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
lnrfgtr	⊢ ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝑁 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lnrfgtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnrfg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
2	1	lnrfg 43649	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR) → 𝑀 ∈ LNoeM)
3		lnrfgtr.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑀)
4		lnrfgtr.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑀 ↾s 𝑃)
5	3, 4	lnmlssfg 43610	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝑁 ∈ LFinGen)
6	2, 5	stoic3 1795	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LFinGen ∧ 𝑆 ∈ LNoeR ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝑁 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ↾_s cress 17247  Scalarcsca 17270  LSubSpclss 20976  LFinGenclfig 43597  LNoeMclnm 43605  LNoeRclnr 43639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9303  df-sup 9383  df-oi 9453  df-card 9892  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12477  df-z 12564  df-dec 12684  df-uz 12835  df-fz 13508  df-fzo 13655  df-seq 14010  df-hash 14339  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17248  df-plusg 17280  df-mulr 17281  df-sca 17283  df-vsca 17284  df-ip 17285  df-tset 17286  df-ple 17287  df-ds 17289  df-hom 17291  df-cco 17292  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-prds 17457  df-pws 17459  df-mre 17595  df-mrc 17596  df-acs 17598  df-mgm 18655  df-sgrp 18734  df-mnd 18750  df-mhm 18798  df-submnd 18799  df-grp 18959  df-minusg 18960  df-sbg 18961  df-mulg 19091  df-subg 19146  df-ghm 19235  df-cntz 19338  df-lsm 19657  df-cmn 19803  df-abl 19804  df-mgp 20168  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-nzr 20540  df-subrg 20597  df-lmod 20907  df-lss 20977  df-lsp 21017  df-lmhm 21067  df-lmim 21068  df-lmic 21069  df-lbs 21120  df-sra 21218  df-rgmod 21219  df-dsmm 21762  df-frlm 21777  df-uvc 21813  df-lfig 43598  df-lnm 43606  df-lnr 43640

This theorem is referenced by: (None)