Theorem mplgsum 34185

Description: Finite commutative sums of polynomials are taken componentwise. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplgsum.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplgsum.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
mplgsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
mplgsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplgsum	⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑦   𝐷,𝑘,𝑦   𝑘,𝐹,𝑦   ℎ,𝐼   𝑘,𝐼,𝑦   𝑅,𝑘,𝑦   𝜑,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(𝑦, ℎ, 𝑘)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑦, ℎ, 𝑘)   𝑅(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝑉(𝑦, ℎ, 𝑘)

Proof of Theorem mplgsum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3		mplgsum.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5		mplgsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6	3, 4, 5	mplval2 22303	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
7		ovexd 7455	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V)
8		mplgsum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9	3, 4, 5, 1	mplbasss 22304	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11		mplgsum.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12		mplgsum.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		mplgsum.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	13	ringgrpd 20469	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		mplgsum.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
16	15	psrbasfsupp 34143	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
17		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
19	4, 12, 14, 16, 17, 18	psr0 22265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
20		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
21	3, 16, 17, 20, 12, 14	mpl0 22313	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
22	19, 21	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘𝑃))
23	3	mplgrp 22324	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
24	12, 14, 23	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
25	5, 20	grpidcl 19176	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
27	22, 26	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ 𝐵)
28	4, 12, 14	psrgrp 22264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Grp)
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Grp)
30		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
31	1, 2, 18, 29, 30	grplidd 19180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑥) = 𝑥)
32	1, 2, 18, 29, 30	grpridd 19181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥)
33	31, 32	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (((0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥))
34	1, 2, 6, 7, 8, 10, 11, 27, 33	gsumress 18871	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) Σg 𝐹) = (𝑃 Σg 𝐹))
35	11, 10	fssd 6727	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
36	4, 1, 13, 12, 15, 8, 35	psrgsum 34180	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
37	34, 36	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {csn 4583   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973   finSupp cfsupp 9353  0cc0 11200  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  Grpcgrp 19144  Ringcrg 20459   mPwSer cmps 22212   mPoly cmpl 22214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-psr 22217  df-mpl 22219

This theorem is used by:  esplyfval1  34205