Theorem mplgsum 33909

Description: Finite commutative sums of polynomials are taken componentwise. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplgsum.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplgsum.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
mplgsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
mplgsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplgsum	⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑦   𝐷,𝑘,𝑦   𝑘,𝐹,𝑦   ℎ,𝐼   𝑘,𝐼,𝑦   𝑅,𝑘,𝑦   𝜑,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ,𝑘)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑦,ℎ,𝑘)   𝑅(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝑉(𝑦,ℎ,𝑘)

Proof of Theorem mplgsum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3		mplgsum.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5		mplgsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6	3, 4, 5	mplval2 22124	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
7		ovexd 7445	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V)
8		mplgsum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9	3, 4, 5, 1	mplbasss 22125	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11		mplgsum.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12		mplgsum.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		mplgsum.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	13	ringgrpd 20323	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		mplgsum.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
16	15	psrbasfsupp 33867	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
17		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
19	4, 12, 14, 16, 17, 18	psr0 22086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
20		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
21	3, 16, 17, 20, 12, 14	mpl0 22134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
22	19, 21	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘𝑃))
23	3	mplgrp 22145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
24	12, 14, 23	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
25	5, 20	grpidcl 19031	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
27	22, 26	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ 𝐵)
28	4, 12, 14	psrgrp 22085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Grp)
29	28	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Grp)
30		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
31	1, 2, 18, 29, 30	grplidd 19035	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑥) = 𝑥)
32	1, 2, 18, 29, 30	grpridd 19036	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥)
33	31, 32	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (((0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥))
34	1, 2, 6, 7, 8, 10, 11, 27, 33	gsumress 18739	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) Σg 𝐹) = (𝑃 Σg 𝐹))
35	11, 10	fssd 6723	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
36	4, 1, 13, 12, 15, 8, 35	psrgsum 33904	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
37	34, 36	eqtr3d 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   × cxp 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942   finSupp cfsupp 9320  0cc0 11099  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  0_gc0g 17491   Σ_g cgsu 17492  Grpcgrp 18999  Ringcrg 20314   mPwSer cmps 22033   mPoly cmpl 22035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-psr 22038  df-mpl 22040

This theorem is referenced by:  esplyfval1  33929