Theorem mplgsum 33952

Description: Finite commutative sums of polynomials are taken componentwise. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplgsum.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplgsum.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
mplgsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
mplgsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplgsum	⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑦   𝐷,𝑘,𝑦   𝑘,𝐹,𝑦   ℎ,𝐼   𝑘,𝐼,𝑦   𝑅,𝑘,𝑦   𝜑,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(𝑦, ℎ, 𝑘)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑦, ℎ, 𝑘)   𝑅(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝑉(𝑦, ℎ, 𝑘)

Proof of Theorem mplgsum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3		mplgsum.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5		mplgsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6	3, 4, 5	mplval2 22156	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
7		ovexd 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V)
8		mplgsum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9	3, 4, 5, 1	mplbasss 22157	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11		mplgsum.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12		mplgsum.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		mplgsum.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	13	ringgrpd 20330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		mplgsum.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
16	15	psrbasfsupp 33910	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
17		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
19	4, 12, 14, 16, 17, 18	psr0 22118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
20		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
21	3, 16, 17, 20, 12, 14	mpl0 22166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
22	19, 21	eqtr4d 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘𝑃))
23	3	mplgrp 22177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
24	12, 14, 23	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
25	5, 20	grpidcl 19038	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
27	22, 26	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ 𝐵)
28	4, 12, 14	psrgrp 22117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Grp)
29	28	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Grp)
30		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
31	1, 2, 18, 29, 30	grplidd 19042	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑥) = 𝑥)
32	1, 2, 18, 29, 30	grpridd 19043	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥)
33	31, 32	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (((0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥))
34	1, 2, 6, 7, 8, 10, 11, 27, 33	gsumress 18746	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) Σg 𝐹) = (𝑃 Σg 𝐹))
35	11, 10	fssd 6723	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
36	4, 1, 13, 12, 15, 8, 35	psrgsum 33947	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
37	34, 36	eqtr3d 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {crab 3415  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   × cxp 5658  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9319  0cc0 11106  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  0_gc0g 17498   Σ_g cgsu 17499  Grpcgrp 19006  Ringcrg 20321   mPwSer cmps 22065   mPoly cmpl 22067

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-psr 22070  df-mpl 22072

This theorem is used by:  esplyfval1  33972