Theorem mplgsum 34050

Description: Finite commutative sums of polynomials are taken componentwise. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplgsum.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplgsum.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
mplgsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
mplgsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplgsum	⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑦   𝐷,𝑘,𝑦   𝑘,𝐹,𝑦   ℎ,𝐼   𝑘,𝐼,𝑦   𝑅,𝑘,𝑦   𝜑,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(𝑦, ℎ, 𝑘)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑦, ℎ, 𝑘)   𝑅(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝑉(𝑦, ℎ, 𝑘)

Proof of Theorem mplgsum

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3		mplgsum.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5		mplgsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6	3, 4, 5	mplval2 22211	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
7		ovexd 7451	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V)
8		mplgsum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9	3, 4, 5, 1	mplbasss 22212	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
11		mplgsum.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12		mplgsum.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13		mplgsum.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	13	ringgrpd 20382	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		mplgsum.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
16	15	psrbasfsupp 34008	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
17		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
18		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
19	4, 12, 14, 16, 17, 18	psr0 22173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
20		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
21	3, 16, 17, 20, 12, 14	mpl0 22221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
22	19, 21	eqtr4d 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (0g‘𝑃))
23	3	mplgrp 22232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
24	12, 14, 23	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
25	5, 20	grpidcl 19090	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
27	22, 26	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ 𝐵)
28	4, 12, 14	psrgrp 22172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Grp)
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Grp)
30		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
31	1, 2, 18, 29, 30	grplidd 19094	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑥) = 𝑥)
32	1, 2, 18, 29, 30	grpridd 19095	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥)
33	31, 32	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (((0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(0g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥))
34	1, 2, 6, 7, 8, 10, 11, 27, 33	gsumress 18786	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) Σg 𝐹) = (𝑃 Σg 𝐹))
35	11, 10	fssd 6724	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
36	4, 1, 13, 12, 15, 8, 35	psrgsum 34045	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
37	34, 36	eqtr3d 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {csn 4587   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9334  0cc0 11127  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  0_gc0g 17528   Σ_g cgsu 17529  Grpcgrp 19058  Ringcrg 20373   mPwSer cmps 22120   mPoly cmpl 22122

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-psr 22125  df-mpl 22127

This theorem is used by:  esplyfval1  34070