Theorem mplmonprod 33723

Description: Finite product of monomials. Here the function 𝐺 maps a bag of variables to the corresponding monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmonprod.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmonprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmonprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mplmonprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplmonprod.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
mplmonprod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
mplmonprod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
mplmonprod.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mplmonprod.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplmonprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
mplmonprod.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))

Assertion

Ref	Expression
mplmonprod	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))

Distinct variable groups:   0 ,ℎ,𝑦,𝑧   𝑦, 1 ,𝑧   𝐴,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝐷,𝑖,𝑦,𝑧   ℎ,𝐹,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   ℎ,𝐼,𝑦,𝑧,𝑖,𝑥   𝑥,𝑀   𝑥,𝑃   𝑅,ℎ,𝑦,𝑧,𝑥   𝑦,𝑉,𝑧   𝜑,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(𝑧,ℎ,𝑖)   𝐷(𝑥,ℎ)   𝑃(𝑦,𝑧,ℎ,𝑖)   𝑅(𝑖)   1 (𝑥,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑥,ℎ,𝑖)   𝑀(𝑦,𝑧,ℎ,𝑖)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑖)   0 (𝑥,𝑖)

Proof of Theorem mplmonprod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3	1, 2	mgpbas 20085	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
4		mplmonprod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
7	4, 5, 6	mplmulr 21968	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
8	1, 7	mgpplusg 20084	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘(mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9		mplmonprod.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
10		ovex 7394	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V
11		mplmonprod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12	11	fvexi 6849	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	4, 5, 11	mplval2 21956	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
14	13, 1	mgpress 20090	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵) = (mulGrp‘𝑃))
15	10, 12, 14	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵) = (mulGrp‘𝑃)
16	9, 15	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵)
17		fvexd 6850	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ V)
18		mplmonprod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
19	4, 5, 11, 2	mplbasss 21957	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
21		fvexd 6850	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (Base‘𝑅) ∈ V)
22		mplmonprod.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
23		ovex 7394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
24	22, 23	rabex2 5287	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ V)
26		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27		mplmonprod.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
28		mplmonprod.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
29	28	crngringd 20186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	26, 27, 29	ringidcld 20206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
31	28	crnggrpd 20187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
32		mplmonprod.0	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
33	26, 32	grpidcl 18900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
35	30, 34	ifcld 4527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
36	35	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
37		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ))
38	36, 37	fmptd 7061	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )):𝐷⟶(Base‘𝑅))
39	21, 25, 38	elmapdd 8783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
40	22	psrbasfsupp 33697	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
41		mplmonprod.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
42	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
43	5, 26, 40, 2, 42	psrbas 21894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
44	39, 43	eleqtrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
45		velsn 4597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦} ↔ 𝑧 = 𝑦)
46	45	bicomi 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ {𝑦})
47	46	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ {𝑦}))
48	47	ifbid 4504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 ∈ {𝑦}, 1 , 0 ))
49	48	mpteq2ia 5194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ {𝑦}, 1 , 0 ))
50		snfi 8985	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑦} ∈ Fin)
52	27	fvexi 6849	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦}) → 1 ∈ V)
54	32	fvexi 6849	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
56	49, 25, 51, 53, 55	mptiffisupp 32775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) finSupp 0 )
57	4, 5, 2, 32, 11	mplelbas 21951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) finSupp 0 ))
58	44, 56, 57	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ 𝐵)
59		mplmonprod.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))
60	58, 59	fmptd 7061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐵)
61		mplmonprod.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
62	60, 61	fcod 6688	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
63	5, 4, 11, 41, 29	mplsubrg 21965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
64		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
65	64	subrg1cl 20518	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ 𝐵)
66	63, 65	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ 𝐵)
67	5, 41, 29	psrring 21930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Ring)
68	67	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Ring)
69		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
70	2, 7, 64, 68, 69	ringlidmd 20212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(.r‘𝑃)𝑥) = 𝑥)
71	2, 7, 64, 68, 69	ringridmd 20213	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑃)(1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥)
72	70, 71	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (((1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(.r‘𝑃)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑃)(1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥))
73	3, 8, 16, 17, 18, 20, 62, 66, 72	gsumress 18612	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)))
74	5, 2, 28, 41, 22, 18, 61, 27, 32, 1, 59	psrmonprod 33721	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))
75	73, 74	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  ifcif 4480  {csn 4581   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8768  Fincfn 8888   finSupp cfsupp 9269  0cc0 11031  ℕ₀cn0 12406  Basecbs 17141   ↾_s cress 17162  ._rcmulr 17183  0_gc0g 17364   Σ_g cgsu 17365  Grpcgrp 18868  mulGrpcmgp 20080  1_rcur 20121  Ringcrg 20173  CRingccrg 20174  SubRingcsubrg 20507  ℂ_fldccnfld 21314   mPwSer cmps 21865   mPoly cmpl 21867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-addf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13930  df-hash 14259  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-starv 17197  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-unif 17205  df-hom 17206  df-cco 17207  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-prds 17372  df-pws 17374  df-mre 17510  df-mrc 17511  df-acs 17513  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-mulg 19003  df-subg 19058  df-ghm 19147  df-cntz 19251  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20278  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-subrng 20484  df-subrg 20508  df-drng 20669  df-field 20670  df-cnfld 21315  df-psr 21870  df-mpl 21872

This theorem is referenced by:  esplyfvaln  33743