Theorem mplmonprod 33953

Description: Finite product of monomials. Here the function 𝐺 maps a bag of variables to the corresponding monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmonprod.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmonprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmonprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mplmonprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplmonprod.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
mplmonprod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
mplmonprod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
mplmonprod.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mplmonprod.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplmonprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
mplmonprod.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))

Assertion

Ref	Expression
mplmonprod	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))

Distinct variable groups:   0 ,ℎ,𝑦,𝑧   𝑦, 1 ,𝑧   𝐴,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝐷,𝑖,𝑦,𝑧   ℎ,𝐹,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   ℎ,𝐼,𝑦,𝑧,𝑖,𝑥   𝑥,𝑀   𝑥,𝑃   𝑅,ℎ,𝑦,𝑧,𝑥   𝑦,𝑉,𝑧   𝜑,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(𝑧, ℎ, 𝑖)   𝐷(𝑥, ℎ)   𝑃(𝑦, 𝑧, ℎ, 𝑖)   𝑅(𝑖)   1 (𝑥, ℎ, 𝑖)   𝐺(𝑥, ℎ, 𝑖)   𝑀(𝑦, 𝑧, ℎ, 𝑖)   𝑉(𝑥, ℎ, 𝑖)   0 (𝑥, 𝑖)

Proof of Theorem mplmonprod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3	1, 2	mgpbas 20227	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
4		mplmonprod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
7	4, 5, 6	mplmulr 22168	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
8	1, 7	mgpplusg 20226	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘(mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9		mplmonprod.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
10		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V
11		mplmonprod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12	11	fvexi 6895	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	4, 5, 11	mplval2 22156	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
14	13, 1	mgpress 20232	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵) = (mulGrp‘𝑃))
15	10, 12, 14	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵) = (mulGrp‘𝑃)
16	9, 15	eqtr4i 2788	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵)
17		fvexd 6896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ V)
18		mplmonprod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
19	4, 5, 11, 2	mplbasss 22157	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
21		fvexd 6896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (Base‘𝑅) ∈ V)
22		mplmonprod.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
23		ovex 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
24	22, 23	rabex2 5310	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ V)
26		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27		mplmonprod.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
28		mplmonprod.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
29	28	crngringd 20334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	26, 27, 29	ringidcld 20356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
31	28	crnggrpd 20335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
32		mplmonprod.0	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
33	26, 32	grpidcl 19038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
34	31, 33	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
35	30, 34	ifcld 4533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
36	35	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
37		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ))
38	36, 37	fmptd 7109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )):𝐷⟶(Base‘𝑅))
39	21, 25, 38	elmapdd 8836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
40	22	psrbasfsupp 33910	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
41		mplmonprod.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
42	41	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
43	5, 26, 40, 2, 42	psrbas 22095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
44	39, 43	eleqtrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
45		velsn 4604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦} ↔ 𝑧 = 𝑦)
46	45	bicomi 227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ {𝑦})
47	46	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ {𝑦}))
48	47	ifbid 4510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 ∈ {𝑦}, 1 , 0 ))
49	48	mpteq2ia 5205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ {𝑦}, 1 , 0 ))
50		snfi 9038	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑦} ∈ Fin)
52	27	fvexi 6895	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦}) → 1 ∈ V)
54	32	fvexi 6895	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
56	49, 25, 51, 53, 55	mptiffisupp 33049	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) finSupp 0 )
57	4, 5, 2, 32, 11	mplelbas 22151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) finSupp 0 ))
58	44, 56, 57	sylanbrc 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ 𝐵)
59		mplmonprod.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))
60	58, 59	fmptd 7109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐵)
61		mplmonprod.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
62	60, 61	fcod 6731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
63	5, 4, 11, 41, 29	mplsubrg 22165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
64		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
65	64	subrg1cl 20690	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ 𝐵)
66	63, 65	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ 𝐵)
67	5, 41, 29	psrring 22130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Ring)
68	67	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Ring)
69		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
70	2, 7, 64, 68, 69	ringlidmd 20362	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(.r‘𝑃)𝑥) = 𝑥)
71	2, 7, 64, 68, 69	ringridmd 20363	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑃)(1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥)
72	70, 71	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (((1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(.r‘𝑃)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑃)(1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥))
73	3, 8, 16, 17, 18, 20, 62, 66, 72	gsumress 18746	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)))
74	5, 2, 28, 41, 22, 18, 61, 27, 32, 1, 59	psrmonprod 33951	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))
75	73, 74	eqtr3d 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {crab 3415  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ifcif 4486  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   ∘ ccom 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9319  0cc0 11106  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498   Σ_g cgsu 17499  Grpcgrp 19006  mulGrpcmgp 20222  1_rcur 20269  Ringcrg 20321  CRingccrg 20322  SubRingcsubrg 20679  ℂ_fldccnfld 21533   mPwSer cmps 22065   mPoly cmpl 22067

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-drng 20840  df-field 20841  df-cnfld 21534  df-psr 22070  df-mpl 22072

This theorem is used by:  esplyfvaln  33973