Theorem mplmonprod 33703

Description: Finite product of monomials. Here the function 𝐺 maps a bag of variables to the corresponding monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmonprod.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmonprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmonprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mplmonprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplmonprod.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
mplmonprod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
mplmonprod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
mplmonprod.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mplmonprod.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplmonprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
mplmonprod.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))

Assertion

Ref	Expression
mplmonprod	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))

Distinct variable groups:   0 ,ℎ,𝑦,𝑧   𝑦, 1 ,𝑧   𝐴,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝐷,𝑖,𝑦,𝑧   ℎ,𝐹,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   ℎ,𝐼,𝑦,𝑧,𝑖,𝑥   𝑥,𝑀   𝑥,𝑃   𝑅,ℎ,𝑦,𝑧,𝑥   𝑦,𝑉,𝑧   𝜑,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(𝑧,ℎ,𝑖)   𝐷(𝑥,ℎ)   𝑃(𝑦,𝑧,ℎ,𝑖)   𝑅(𝑖)   1 (𝑥,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑥,ℎ,𝑖)   𝑀(𝑦,𝑧,ℎ,𝑖)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑖)   0 (𝑥,𝑖)

Proof of Theorem mplmonprod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3	1, 2	mgpbas 20084	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
4		mplmonprod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
7	4, 5, 6	mplmulr 21964	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
8	1, 7	mgpplusg 20083	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘(mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9		mplmonprod.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
10		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V
11		mplmonprod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12	11	fvexi 6846	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	4, 5, 11	mplval2 21952	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
14	13, 1	mgpress 20089	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵) = (mulGrp‘𝑃))
15	10, 12, 14	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵) = (mulGrp‘𝑃)
16	9, 15	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵)
17		fvexd 6847	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ V)
18		mplmonprod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
19	4, 5, 11, 2	mplbasss 21953	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
21		fvexd 6847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (Base‘𝑅) ∈ V)
22		mplmonprod.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
23		ovex 7391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
24	22, 23	rabex2 5276	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ V)
26		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27		mplmonprod.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
28		mplmonprod.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
29	28	crngringd 20185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	26, 27, 29	ringidcld 20205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
31	28	crnggrpd 20186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
32		mplmonprod.0	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
33	26, 32	grpidcl 18899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
35	30, 34	ifcld 4514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
36	35	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
37		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ))
38	36, 37	fmptd 7058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )):𝐷⟶(Base‘𝑅))
39	21, 25, 38	elmapdd 8779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
40	22	psrbasfsupp 33677	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
41		mplmonprod.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
42	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
43	5, 26, 40, 2, 42	psrbas 21890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
44	39, 43	eleqtrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
45		velsn 4584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦} ↔ 𝑧 = 𝑦)
46	45	bicomi 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ {𝑦})
47	46	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ {𝑦}))
48	47	ifbid 4491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 ∈ {𝑦}, 1 , 0 ))
49	48	mpteq2ia 5181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ {𝑦}, 1 , 0 ))
50		snfi 8981	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑦} ∈ Fin)
52	27	fvexi 6846	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦}) → 1 ∈ V)
54	32	fvexi 6846	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
56	49, 25, 51, 53, 55	mptiffisupp 32755	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) finSupp 0 )
57	4, 5, 2, 32, 11	mplelbas 21947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) finSupp 0 ))
58	44, 56, 57	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ 𝐵)
59		mplmonprod.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))
60	58, 59	fmptd 7058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐵)
61		mplmonprod.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
62	60, 61	fcod 6685	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
63	5, 4, 11, 41, 29	mplsubrg 21961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
64		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
65	64	subrg1cl 20515	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ 𝐵)
66	63, 65	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ 𝐵)
67	5, 41, 29	psrring 21926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Ring)
68	67	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Ring)
69		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
70	2, 7, 64, 68, 69	ringlidmd 20211	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(.r‘𝑃)𝑥) = 𝑥)
71	2, 7, 64, 68, 69	ringridmd 20212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑃)(1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥)
72	70, 71	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (((1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(.r‘𝑃)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑃)(1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥))
73	3, 8, 16, 17, 18, 20, 62, 66, 72	gsumress 18608	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)))
74	5, 2, 28, 41, 22, 18, 61, 27, 32, 1, 59	psrmonprod 33701	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))
75	73, 74	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5626  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8764  Fincfn 8884   finSupp cfsupp 9265  0cc0 11027  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17137   ↾_s cress 17158  ._rcmulr 17179  0_gc0g 17360   Σ_g cgsu 17361  Grpcgrp 18867  mulGrpcmgp 20079  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  SubRingcsubrg 20504  ℂ_fldccnfld 21311   mPwSer cmps 21861   mPoly cmpl 21863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-hash 14255  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-prds 17368  df-pws 17370  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-drng 20666  df-field 20667  df-cnfld 21312  df-psr 21866  df-mpl 21868

This theorem is referenced by:  esplyfvaln  33723