Theorem mplmonprod 33695

Description: Finite product of monomials. Here the function 𝐺 maps a bag of variables to the corresponding monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmonprod.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmonprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmonprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mplmonprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplmonprod.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
mplmonprod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
mplmonprod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
mplmonprod.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mplmonprod.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplmonprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
mplmonprod.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))

Assertion

Ref	Expression
mplmonprod	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))

Distinct variable groups:   0 ,ℎ,𝑦,𝑧   𝑦, 1 ,𝑧   𝐴,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝐷,𝑖,𝑦,𝑧   ℎ,𝐹,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   ℎ,𝐼,𝑦,𝑧,𝑖,𝑥   𝑥,𝑀   𝑥,𝑃   𝑅,ℎ,𝑦,𝑧,𝑥   𝑦,𝑉,𝑧   𝜑,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(𝑧,ℎ,𝑖)   𝐷(𝑥,ℎ)   𝑃(𝑦,𝑧,ℎ,𝑖)   𝑅(𝑖)   1 (𝑥,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑥,ℎ,𝑖)   𝑀(𝑦,𝑧,ℎ,𝑖)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑖)   0 (𝑥,𝑖)

Proof of Theorem mplmonprod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3	1, 2	mgpbas 20123	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
4		mplmonprod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
7	4, 5, 6	mplmulr 21983	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
8	1, 7	mgpplusg 20122	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘(mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9		mplmonprod.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
10		ovex 7397	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V
11		mplmonprod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12	11	fvexi 6852	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	4, 5, 11	mplval2 21971	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
14	13, 1	mgpress 20128	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵) = (mulGrp‘𝑃))
15	10, 12, 14	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵) = (mulGrp‘𝑃)
16	9, 15	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵)
17		fvexd 6853	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ V)
18		mplmonprod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
19	4, 5, 11, 2	mplbasss 21972	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
21		fvexd 6853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (Base‘𝑅) ∈ V)
22		mplmonprod.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
23		ovex 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
24	22, 23	rabex2 5281	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ V)
26		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27		mplmonprod.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
28		mplmonprod.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
29	28	crngringd 20224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	26, 27, 29	ringidcld 20244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
31	28	crnggrpd 20225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
32		mplmonprod.0	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
33	26, 32	grpidcl 18938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
35	30, 34	ifcld 4514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
36	35	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
37		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ))
38	36, 37	fmptd 7064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )):𝐷⟶(Base‘𝑅))
39	21, 25, 38	elmapdd 8785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
40	22	psrbasfsupp 33669	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
41		mplmonprod.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
42	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
43	5, 26, 40, 2, 42	psrbas 21910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
44	39, 43	eleqtrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
45		velsn 4584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦} ↔ 𝑧 = 𝑦)
46	45	bicomi 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ {𝑦})
47	46	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ {𝑦}))
48	47	ifbid 4491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 ∈ {𝑦}, 1 , 0 ))
49	48	mpteq2ia 5181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ {𝑦}, 1 , 0 ))
50		snfi 8987	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑦} ∈ Fin)
52	27	fvexi 6852	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦}) → 1 ∈ V)
54	32	fvexi 6852	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
56	49, 25, 51, 53, 55	mptiffisupp 32763	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) finSupp 0 )
57	4, 5, 2, 32, 11	mplelbas 21966	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) finSupp 0 ))
58	44, 56, 57	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ 𝐵)
59		mplmonprod.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))
60	58, 59	fmptd 7064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐵)
61		mplmonprod.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
62	60, 61	fcod 6691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
63	5, 4, 11, 41, 29	mplsubrg 21980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
64		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
65	64	subrg1cl 20554	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ 𝐵)
66	63, 65	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ 𝐵)
67	5, 41, 29	psrring 21945	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Ring)
68	67	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Ring)
69		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
70	2, 7, 64, 68, 69	ringlidmd 20250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(.r‘𝑃)𝑥) = 𝑥)
71	2, 7, 64, 68, 69	ringridmd 20251	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑃)(1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥)
72	70, 71	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (((1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(.r‘𝑃)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑃)(1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥))
73	3, 8, 16, 17, 18, 20, 62, 66, 72	gsumress 18647	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)))
74	5, 2, 28, 41, 22, 18, 61, 27, 32, 1, 59	psrmonprod 33693	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))
75	73, 74	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5632  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364   ↑_m cmap 8770  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9271  0cc0 11035  ℕ₀cn0 12434  Basecbs 17176   ↾_s cress 17197  ._rcmulr 17218  0_gc0g 17399   Σ_g cgsu 17400  Grpcgrp 18906  mulGrpcmgp 20118  1_rcur 20159  Ringcrg 20211  CRingccrg 20212  SubRingcsubrg 20543  ℂ_fldccnfld 21349   mPwSer cmps 21881   mPoly cmpl 21883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-addf 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-of 7628  df-ofr 7629  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-supp 8108  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9860  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-seq 13961  df-hash 14290  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-starv 17232  df-sca 17233  df-vsca 17234  df-ip 17235  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-unif 17240  df-hom 17241  df-cco 17242  df-0g 17401  df-gsum 17402  df-prds 17407  df-pws 17409  df-mre 17545  df-mrc 17546  df-acs 17548  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-mulg 19041  df-subg 19096  df-ghm 19185  df-cntz 19289  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20119  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-cring 20214  df-oppr 20314  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-invr 20365  df-dvr 20378  df-subrng 20520  df-subrg 20544  df-drng 20705  df-field 20706  df-cnfld 21350  df-psr 21886  df-mpl 21888

This theorem is referenced by:  esplyfvaln  33715