Theorem mplmonprod 33686

Description: Finite product of monomials. Here the function 𝐺 maps a bag of variables to the corresponding monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmonprod.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmonprod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmonprod.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mplmonprod.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplmonprod.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
mplmonprod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
mplmonprod.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
mplmonprod.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mplmonprod.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplmonprod.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
mplmonprod.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))

Assertion

Ref	Expression
mplmonprod	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))

Distinct variable groups:   0 ,ℎ,𝑦,𝑧   𝑦, 1 ,𝑧   𝐴,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦   𝐷,𝑖,𝑦,𝑧   ℎ,𝐹,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   ℎ,𝐼,𝑦,𝑧,𝑖,𝑥   𝑥,𝑀   𝑥,𝑃   𝑅,ℎ,𝑦,𝑧,𝑥   𝑦,𝑉,𝑧   𝜑,𝑖,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(𝑧,ℎ,𝑖)   𝐷(𝑥,ℎ)   𝑃(𝑦,𝑧,ℎ,𝑖)   𝑅(𝑖)   1 (𝑥,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑥,ℎ,𝑖)   𝑀(𝑦,𝑧,ℎ,𝑖)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑖)   0 (𝑥,𝑖)

Proof of Theorem mplmonprod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3	1, 2	mgpbas 20115	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
4		mplmonprod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
7	4, 5, 6	mplmulr 21975	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
8	1, 7	mgpplusg 20114	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘(mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9		mplmonprod.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
10		ovex 7389	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V
11		mplmonprod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12	11	fvexi 6843	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	4, 5, 11	mplval2 21963	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
14	13, 1	mgpress 20120	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵) = (mulGrp‘𝑃))
15	10, 12, 14	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵) = (mulGrp‘𝑃)
16	9, 15	eqtr4i 2761	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↾s 𝐵)
17		fvexd 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ V)
18		mplmonprod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
19	4, 5, 11, 2	mplbasss 21964	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
21		fvexd 6844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (Base‘𝑅) ∈ V)
22		mplmonprod.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
23		ovex 7389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
24	22, 23	rabex2 5271	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ V)
26		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27		mplmonprod.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
28		mplmonprod.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
29	28	crngringd 20216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	26, 27, 29	ringidcld 20236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝑅))
31	28	crnggrpd 20217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
32		mplmonprod.0	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
33	26, 32	grpidcl 18930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
35	30, 34	ifcld 4503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
36	35	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
37		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ))
38	36, 37	fmptd 7055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )):𝐷⟶(Base‘𝑅))
39	21, 25, 38	elmapdd 8777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
40	22	psrbasfsupp 33660	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
41		mplmonprod.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
42	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
43	5, 26, 40, 2, 42	psrbas 21902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
44	39, 43	eleqtrrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
45		velsn 4573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦} ↔ 𝑧 = 𝑦)
46	45	bicomi 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ {𝑦})
47	46	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ {𝑦}))
48	47	ifbid 4480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 ) = if(𝑧 ∈ {𝑦}, 1 , 0 ))
49	48	mpteq2ia 5169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ {𝑦}, 1 , 0 ))
50		snfi 8979	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑦} ∈ Fin)
52	27	fvexi 6843	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑦}) → 1 ∈ V)
54	32	fvexi 6843	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
56	49, 25, 51, 53, 55	mptiffisupp 32754	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) finSupp 0 )
57	4, 5, 2, 32, 11	mplelbas 21958	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) finSupp 0 ))
58	44, 56, 57	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )) ∈ 𝐵)
59		mplmonprod.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 = 𝑦, 1 , 0 )))
60	58, 59	fmptd 7055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶𝐵)
61		mplmonprod.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
62	60, 61	fcod 6682	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐵)
63	5, 4, 11, 41, 29	mplsubrg 21972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
64		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
65	64	subrg1cl 20546	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ 𝐵)
66	63, 65	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ 𝐵)
67	5, 41, 29	psrring 21937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Ring)
68	67	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Ring)
69		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
70	2, 7, 64, 68, 69	ringlidmd 20242	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(.r‘𝑃)𝑥) = 𝑥)
71	2, 7, 64, 68, 69	ringridmd 20243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑃)(1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥)
72	70, 71	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (((1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))(.r‘𝑃)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑃)(1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝑥))
73	3, 8, 16, 17, 18, 20, 62, 66, 72	gsumress 18639	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)))
74	5, 2, 28, 41, 22, 18, 61, 27, 32, 1, 59	psrmonprod 33684	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))
75	73, 74	eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥)‘𝑖))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3387  Vcvv 3427   ⊆ wss 3885  ifcif 4456  {csn 4557   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155   ∘ ccom 5624  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8762  Fincfn 8882   finSupp cfsupp 9263  0cc0 11027  ℕ₀cn0 12426  Basecbs 17168   ↾_s cress 17189  ._rcmulr 17210  0_gc0g 17391   Σ_g cgsu 17392  Grpcgrp 18898  mulGrpcmgp 20110  1_rcur 20151  Ringcrg 20203  CRingccrg 20204  SubRingcsubrg 20535  ℂ_fldccnfld 21341   mPwSer cmps 21873   mPoly cmpl 21875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-sup 9344  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-hash 14282  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-ghm 19177  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-drng 20697  df-field 20698  df-cnfld 21342  df-psr 21878  df-mpl 21880

This theorem is referenced by:  esplyfvaln  33706