MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1sclf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1sclf1 21676
Description: The polynomial scalar function is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scl.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1scl.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
ply1sclid.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
ply1sclf1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
ply1sclf1 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:𝐾–1-1→𝐡)

Proof of Theorem ply1sclf1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1scl.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
2 ply1scl.a . . 3 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
3 ply1sclid.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
4 ply1sclf1.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
51, 2, 3, 4ply1sclf 21672 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:𝐾⟢𝐡)
6 fveq2 6843 . . . . 5 ((π΄β€˜π‘₯) = (π΄β€˜π‘¦) β†’ (coe1β€˜(π΄β€˜π‘₯)) = (coe1β€˜(π΄β€˜π‘¦)))
76fveq1d 6845 . . . 4 ((π΄β€˜π‘₯) = (π΄β€˜π‘¦) β†’ ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘₯))β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘¦))β€˜0))
81, 2, 3ply1sclid 21675 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ π‘₯ = ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘₯))β€˜0))
98adantrr 716 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ π‘₯ = ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘₯))β€˜0))
101, 2, 3ply1sclid 21675 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ 𝑦 = ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘¦))β€˜0))
1110adantrl 715 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑦 = ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘¦))β€˜0))
129, 11eqeq12d 2749 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘₯))β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜π‘¦))β€˜0)))
137, 12syl5ibr 246 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ ((π΄β€˜π‘₯) = (π΄β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
1413ralrimivva 3194 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((π΄β€˜π‘₯) = (π΄β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
15 dff13 7203 . 2 (𝐴:𝐾–1-1→𝐡 ↔ (𝐴:𝐾⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((π΄β€˜π‘₯) = (π΄β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
165, 14, 15sylanbrc 584 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:𝐾–1-1→𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€˜cfv 6497  0cc0 11056  Basecbs 17088  Ringcrg 19969  algSccascl 21274  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570
This theorem is referenced by:  ply1scln0  21678  mat2pmatf1  22094  facth1  25545
  Copyright terms: Public domain W3C validator