Theorem ply1sclf1 22236

Description: The polynomial scalar function is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1sclid.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1sclf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1sclf1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾–1-1→𝐵)

Proof of Theorem ply1sclf1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1scl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1scl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
3		ply1sclid.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		ply1sclf1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	ply1sclf 22232	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
6		fveq2 6835	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → (coe1‘(𝐴‘𝑥)) = (coe1‘(𝐴‘𝑦)))
7	6	fveq1d 6837	. . . 4 ⊢ ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → ((coe1‘(𝐴‘𝑥))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝑦))‘0))
8	1, 2, 3	ply1sclid 22235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑥 = ((coe1‘(𝐴‘𝑥))‘0))
9	8	adantrr 718	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑥 = ((coe1‘(𝐴‘𝑥))‘0))
10	1, 2, 3	ply1sclid 22235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑦 = ((coe1‘(𝐴‘𝑦))‘0))
11	10	adantrl 717	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑦 = ((coe1‘(𝐴‘𝑦))‘0))
12	9, 11	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ((coe1‘(𝐴‘𝑥))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝑦))‘0)))
13	7, 12	imbitrrid 246	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
14	13	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
15		dff13 7203	. 2 ⊢ (𝐴:𝐾–1-1→𝐵 ↔ (𝐴:𝐾⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
16	5, 14, 15	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ⟶wf 6489  –1-1→wf1 6490  ‘cfv 6493  0cc0 11031  Basecbs 17141  Ringcrg 20173  algSccascl 21812  Poly₁cpl1 22122  coe₁cco1 22123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13930  df-hash 14259  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-hom 17206  df-cco 17207  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-prds 17372  df-pws 17374  df-mre 17510  df-mrc 17511  df-acs 17513  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-mulg 19003  df-subg 19058  df-ghm 19147  df-cntz 19251  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-subrng 20484  df-subrg 20508  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-ascl 21815  df-psr 21870  df-mvr 21871  df-mpl 21872  df-opsr 21874  df-psr1 22125  df-vr1 22126  df-ply1 22127  df-coe1 22128

This theorem is referenced by:  ply1scln0  22239  mat2pmatf1  22678  facth1  26133