Theorem ply1sclf1 22213

Description: The polynomial scalar function is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1sclid.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1sclf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1sclf1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾–1-1→𝐵)

Proof of Theorem ply1sclf1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1scl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1scl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
3		ply1sclid.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		ply1sclf1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	ply1sclf 22209	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
6		fveq2 6900	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → (coe1‘(𝐴‘𝑥)) = (coe1‘(𝐴‘𝑦)))
7	6	fveq1d 6902	. . . 4 ⊢ ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → ((coe1‘(𝐴‘𝑥))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝑦))‘0))
8	1, 2, 3	ply1sclid 22212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → 𝑥 = ((coe1‘(𝐴‘𝑥))‘0))
9	8	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑥 = ((coe1‘(𝐴‘𝑥))‘0))
10	1, 2, 3	ply1sclid 22212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → 𝑦 = ((coe1‘(𝐴‘𝑦))‘0))
11	10	adantrl 714	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑦 = ((coe1‘(𝐴‘𝑦))‘0))
12	9, 11	eqeq12d 2743	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ((coe1‘(𝐴‘𝑥))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝑦))‘0)))
13	7, 12	imbitrrid 245	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
14	13	ralrimivva 3196	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
15		dff13 7269	. 2 ⊢ (𝐴:𝐾–1-1→𝐵 ↔ (𝐴:𝐾⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
16	5, 14, 15	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3057  ⟶wf 6547  –1-1→wf1 6548  ‘cfv 6551  0cc0 11144  Basecbs 17185  Ringcrg 20178  algSccascl 21791  Poly₁cpl1 22101  coe₁cco1 22102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-ofr 7690  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-hash 14328  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-prds 17434  df-pws 17436  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-ascl 21794  df-psr 21847  df-mvr 21848  df-mpl 21849  df-opsr 21851  df-psr1 22104  df-vr1 22105  df-ply1 22106  df-coe1 22107

This theorem is referenced by:  ply1scln0  22216  mat2pmatf1  22649  facth1  26119