Theorem ply1scleq 31668

Description: Equality of a constant polynomial is the same as equality of the constant term. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scleq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scleq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1scleq.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scleq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1scleq.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
ply1scleq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ply1scleq	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹) ↔ 𝐸 = 𝐹))

Proof of Theorem ply1scleq

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 0 → ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
2		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 0 → ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
3	1, 2	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 0 → (((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0)))
4		ply1scleq.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ply1scleq.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
6		ply1scleq.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		ply1scleq.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8		ply1scleq.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	6, 7, 8, 9	ply1sclcl 21457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
11	4, 5, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
12		ply1scleq.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	6, 7, 8, 9	ply1sclcl 21457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
14	4, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐴‘𝐸)) = (coe1‘(𝐴‘𝐸))
16		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐴‘𝐹)) = (coe1‘(𝐴‘𝐹))
17	6, 9, 15, 16	ply1coe1eq 21469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)))
18	4, 11, 14, 17	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)))
19	18	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑))
20		0nn0 12248	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 0 ∈ ℕ0)
22	3, 19, 21	rspcdva 3562	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
23	6, 7, 8	ply1sclid 21459	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
24	4, 5, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
25	24	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
26	6, 7, 8	ply1sclid 21459	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
27	4, 12, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
28	27	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
29	22, 25, 28	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐸 = 𝐹)
30		fveq2 6774	. . 3 ⊢ (𝐸 = 𝐹 → (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹))
31	30	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 = 𝐹) → (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹))
32	29, 31	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹) ↔ 𝐸 = 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ‘cfv 6433  0cc0 10871  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  Ringcrg 19783  algSccascl 21059  Poly₁cpl1 21348  coe₁cco1 21349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-srg 19742  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353  df-coe1 21354

This theorem is referenced by:  ply1chr  31669