Theorem ply1scleq 22224

Description: Equality of a constant polynomial is the same as equality of the constant term. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scleq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scleq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1scleq.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scleq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1scleq.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
ply1scleq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ply1scleq	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹) ↔ 𝐸 = 𝐹))

Proof of Theorem ply1scleq

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6897	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 0 → ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
2		fveq2 6897	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 0 → ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
3	1, 2	eqeq12d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 0 → (((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0)))
4		ply1scleq.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ply1scleq.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
6		ply1scleq.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		ply1scleq.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8		ply1scleq.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	6, 7, 8, 9	ply1sclcl 22205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
11	4, 5, 10	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
12		ply1scleq.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	6, 7, 8, 9	ply1sclcl 22205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
14	4, 12, 13	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐴‘𝐸)) = (coe1‘(𝐴‘𝐸))
16		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐴‘𝐹)) = (coe1‘(𝐴‘𝐹))
17	6, 9, 15, 16	ply1coe1eq 22219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)))
18	4, 11, 14, 17	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)))
19	18	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑))
20		0nn0 12518	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 0 ∈ ℕ0)
22	3, 19, 21	rspcdva 3610	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
23	6, 7, 8	ply1sclid 22207	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
24	4, 5, 23	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
26	6, 7, 8	ply1sclid 22207	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
27	4, 12, 26	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
28	27	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
29	22, 25, 28	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐸 = 𝐹)
30		fveq2 6897	. . 3 ⊢ (𝐸 = 𝐹 → (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹))
31	30	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 = 𝐹) → (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹))
32	29, 31	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹) ↔ 𝐸 = 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ‘cfv 6548  0cc0 11139  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17180  Ringcrg 20173  algSccascl 21786  Poly₁cpl1 22096  coe₁cco1 22097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-srg 20127  df-ring 20175  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-ascl 21789  df-psr 21842  df-mvr 21843  df-mpl 21844  df-opsr 21846  df-psr1 22099  df-vr1 22100  df-ply1 22101  df-coe1 22102

This theorem is referenced by:  ply1chr  22225