Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1scleq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1scleq 31134
 Description: Equality of a constant polynomial is the same as equality of the constant term. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scleq.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1scleq.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1scleq.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scleq.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1scleq.e (𝜑𝐸𝐵)
ply1scleq.f (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
ply1scleq (𝜑 → ((𝐴𝐸) = (𝐴𝐹) ↔ 𝐸 = 𝐹))

Proof of Theorem ply1scleq
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6652 . . . . 5 (𝑑 = 0 → ((coe1‘(𝐴𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴𝐸))‘0))
2 fveq2 6652 . . . . 5 (𝑑 = 0 → ((coe1‘(𝐴𝐹))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘0))
31, 2eqeq12d 2814 . . . 4 (𝑑 = 0 → (((coe1‘(𝐴𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘𝑑) ↔ ((coe1‘(𝐴𝐸))‘0) = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘0)))
4 ply1scleq.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 ply1scleq.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝐵)
6 ply1scleq.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
7 ply1scleq.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8 ply1scleq.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
106, 7, 8, 9ply1sclcl 20953 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝐵) → (𝐴𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
114, 5, 10syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
12 ply1scleq.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
136, 7, 8, 9ply1sclcl 20953 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐴𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
144, 12, 13syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
15 eqid 2798 . . . . . . 7 (coe1‘(𝐴𝐸)) = (coe1‘(𝐴𝐸))
16 eqid 2798 . . . . . . 7 (coe1‘(𝐴𝐹)) = (coe1‘(𝐴𝐹))
176, 9, 15, 16ply1coe1eq 20965 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴𝐸) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐴𝐹) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘𝑑) ↔ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)))
184, 11, 14, 17syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘𝑑) ↔ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)))
1918biimpar 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)) → ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘𝑑))
20 0nn0 11915 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)) → 0 ∈ ℕ0)
223, 19, 21rspcdva 3573 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)) → ((coe1‘(𝐴𝐸))‘0) = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘0))
236, 7, 8ply1sclid 20955 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝐵) → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴𝐸))‘0))
244, 5, 23syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝐸 = ((coe1‘(𝐴𝐸))‘0))
2524adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)) → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴𝐸))‘0))
266, 7, 8ply1sclid 20955 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘0))
274, 12, 26syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝐹 = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘0))
2827adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘0))
2922, 25, 283eqtr4d 2843 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)) → 𝐸 = 𝐹)
30 fveq2 6652 . . 3 (𝐸 = 𝐹 → (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹))
3130adantl 485 . 2 ((𝜑𝐸 = 𝐹) → (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹))
3229, 31impbida 800 1 (𝜑 → ((𝐴𝐸) = (𝐴𝐹) ↔ 𝐸 = 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ‘cfv 6329  0cc0 10541  ℕ0cn0 11900  Basecbs 16492  Ringcrg 19308  algSccascl 20560  Poly1cpl1 20844  coe1cco1 20845 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-se 5482  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7397  df-ofr 7398  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7824  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11987  df-dec 12104  df-uz 12249  df-fz 12903  df-fzo 13046  df-seq 13382  df-hash 13704  df-struct 16494  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-sets 16499  df-ress 16500  df-plusg 16587  df-mulr 16588  df-sca 16590  df-vsca 16591  df-tset 16593  df-ple 16594  df-0g 16724  df-gsum 16725  df-mre 16866  df-mrc 16867  df-acs 16869  df-mgm 17861  df-sgrp 17910  df-mnd 17921  df-mhm 17965  df-submnd 17966  df-grp 18115  df-minusg 18116  df-sbg 18117  df-mulg 18235  df-subg 18286  df-ghm 18366  df-cntz 18457  df-cmn 18918  df-abl 18919  df-mgp 19251  df-ur 19263  df-srg 19267  df-ring 19310  df-subrg 19544  df-lmod 19647  df-lss 19715  df-ascl 20563  df-psr 20614  df-mvr 20615  df-mpl 20616  df-opsr 20618  df-psr1 20847  df-vr1 20848  df-ply1 20849  df-coe1 20850 This theorem is referenced by:  ply1chr  31135
 Copyright terms: Public domain W3C validator