Theorem ply1scleq 22562

Description: Equality of a constant polynomial is the same as equality of the constant term. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scleq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scleq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1scleq.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scleq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1scleq.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
ply1scleq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ply1scleq	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹) ↔ 𝐸 = 𝐹))

Proof of Theorem ply1scleq

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 0 → ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
2		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 0 → ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
3	1, 2	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 0 → (((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0)))
4		ply1scleq.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ply1scleq.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
6		ply1scleq.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		ply1scleq.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8		ply1scleq.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	6, 7, 8, 9	ply1sclcl 22544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
11	4, 5, 10	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
12		ply1scleq.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	6, 7, 8, 9	ply1sclcl 22544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
14	4, 12, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐴‘𝐸)) = (coe1‘(𝐴‘𝐸))
16		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐴‘𝐹)) = (coe1‘(𝐴‘𝐹))
17	6, 9, 15, 16	ply1coe1eq 22557	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)))
18	4, 11, 14, 17	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)))
19	18	biimpar 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑))
20		0nn0 12568	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 0 ∈ ℕ0)
22	3, 19, 21	rspcdva 3577	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
23	6, 7, 8	ply1sclid 22546	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
24	4, 5, 23	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
25	24	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
26	6, 7, 8	ply1sclid 22546	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
27	4, 12, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
28	27	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
29	22, 25, 28	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐸 = 𝐹)
30		fveq2 6881	. . 3 ⊢ (𝐸 = 𝐹 → (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹))
31	30	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 = 𝐹) → (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹))
32	29, 31	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹) ↔ 𝐸 = 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ‘cfv 6535  0cc0 11149  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17326  Ringcrg 20398  algSccascl 22099  Poly₁cpl1 22434  coe₁cco1 22435

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-sup 9419  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-seq 14091  df-hash 14420  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-hom 17391  df-cco 17392  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-prds 17557  df-pws 17559  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-submnd 18918  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-mulg 19217  df-subg 19272  df-ghm 19367  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-srg 20352  df-ring 20400  df-subrng 20737  df-subrg 20761  df-lmod 21076  df-lss 21146  df-ascl 22102  df-psr 22156  df-mvr 22157  df-mpl 22158  df-opsr 22160  df-psr1 22437  df-vr1 22438  df-ply1 22439  df-coe1 22440

This theorem is used by:  ply1chr  22563