Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1scleq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1scleq 32322
Description: Equality of a constant polynomial is the same as equality of the constant term. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scleq.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1scleq.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ply1scleq.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
ply1scleq.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
ply1scleq.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐡)
ply1scleq.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ply1scleq (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜πΈ) = (π΄β€˜πΉ) ↔ 𝐸 = 𝐹))

Proof of Theorem ply1scleq
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6846 . . . . 5 (𝑑 = 0 β†’ ((coe1β€˜(π΄β€˜πΈ))β€˜π‘‘) = ((coe1β€˜(π΄β€˜πΈ))β€˜0))
2 fveq2 6846 . . . . 5 (𝑑 = 0 β†’ ((coe1β€˜(π΄β€˜πΉ))β€˜π‘‘) = ((coe1β€˜(π΄β€˜πΉ))β€˜0))
31, 2eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑑 = 0 β†’ (((coe1β€˜(π΄β€˜πΈ))β€˜π‘‘) = ((coe1β€˜(π΄β€˜πΉ))β€˜π‘‘) ↔ ((coe1β€˜(π΄β€˜πΈ))β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜πΉ))β€˜0)))
4 ply1scleq.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 ply1scleq.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐡)
6 ply1scleq.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
7 ply1scleq.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
8 ply1scleq.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
9 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
106, 7, 8, 9ply1sclcl 21680 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
114, 5, 10syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
12 ply1scleq.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
136, 7, 8, 9ply1sclcl 21680 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
144, 12, 13syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
15 eqid 2733 . . . . . . 7 (coe1β€˜(π΄β€˜πΈ)) = (coe1β€˜(π΄β€˜πΈ))
16 eqid 2733 . . . . . . 7 (coe1β€˜(π΄β€˜πΉ)) = (coe1β€˜(π΄β€˜πΉ))
176, 9, 15, 16ply1coe1eq 21692 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π΄β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π΄β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ β„•0 ((coe1β€˜(π΄β€˜πΈ))β€˜π‘‘) = ((coe1β€˜(π΄β€˜πΉ))β€˜π‘‘) ↔ (π΄β€˜πΈ) = (π΄β€˜πΉ)))
184, 11, 14, 17syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ β„•0 ((coe1β€˜(π΄β€˜πΈ))β€˜π‘‘) = ((coe1β€˜(π΄β€˜πΉ))β€˜π‘‘) ↔ (π΄β€˜πΈ) = (π΄β€˜πΉ)))
1918biimpar 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜πΈ) = (π΄β€˜πΉ)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ β„•0 ((coe1β€˜(π΄β€˜πΈ))β€˜π‘‘) = ((coe1β€˜(π΄β€˜πΉ))β€˜π‘‘))
20 0nn0 12436 . . . . 5 0 ∈ β„•0
2120a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜πΈ) = (π΄β€˜πΉ)) β†’ 0 ∈ β„•0)
223, 19, 21rspcdva 3584 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜πΈ) = (π΄β€˜πΉ)) β†’ ((coe1β€˜(π΄β€˜πΈ))β€˜0) = ((coe1β€˜(π΄β€˜πΉ))β€˜0))
236, 7, 8ply1sclid 21682 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝐡) β†’ 𝐸 = ((coe1β€˜(π΄β€˜πΈ))β€˜0))
244, 5, 23syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 = ((coe1β€˜(π΄β€˜πΈ))β€˜0))
2524adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜πΈ) = (π΄β€˜πΉ)) β†’ 𝐸 = ((coe1β€˜(π΄β€˜πΈ))β€˜0))
266, 7, 8ply1sclid 21682 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 = ((coe1β€˜(π΄β€˜πΉ))β€˜0))
274, 12, 26syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((coe1β€˜(π΄β€˜πΉ))β€˜0))
2827adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜πΈ) = (π΄β€˜πΉ)) β†’ 𝐹 = ((coe1β€˜(π΄β€˜πΉ))β€˜0))
2922, 25, 283eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜πΈ) = (π΄β€˜πΉ)) β†’ 𝐸 = 𝐹)
30 fveq2 6846 . . 3 (𝐸 = 𝐹 β†’ (π΄β€˜πΈ) = (π΄β€˜πΉ))
3130adantl 483 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐸 = 𝐹) β†’ (π΄β€˜πΈ) = (π΄β€˜πΉ))
3229, 31impbida 800 1 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜πΈ) = (π΄β€˜πΉ) ↔ 𝐸 = 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  β€˜cfv 6500  0cc0 11059  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091  Ringcrg 19972  algSccascl 21281  Poly1cpl1 21571  coe1cco1 21572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-srg 19926  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-ascl 21284  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-vr1 21575  df-ply1 21576  df-coe1 21577
This theorem is referenced by:  ply1chr  32338
  Copyright terms: Public domain W3C validator