Theorem ply1scleq 22295

Description: Equality of a constant polynomial is the same as equality of the constant term. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scleq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scleq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1scleq.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scleq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1scleq.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
ply1scleq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ply1scleq	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹) ↔ 𝐸 = 𝐹))

Proof of Theorem ply1scleq

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 0 → ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
2		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 0 → ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
3	1, 2	eqeq12d 2757	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 0 → (((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0)))
4		ply1scleq.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ply1scleq.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
6		ply1scleq.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		ply1scleq.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8		ply1scleq.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	6, 7, 8, 9	ply1sclcl 22276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
11	4, 5, 10	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
12		ply1scleq.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	6, 7, 8, 9	ply1sclcl 22276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
14	4, 12, 13	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐴‘𝐸)) = (coe1‘(𝐴‘𝐸))
16		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐴‘𝐹)) = (coe1‘(𝐴‘𝐹))
17	6, 9, 15, 16	ply1coe1eq 22290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)))
18	4, 11, 14, 17	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)))
19	18	biimpar 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑))
20		0nn0 12447	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 0 ∈ ℕ0)
22	3, 19, 21	rspcdva 3563	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
23	6, 7, 8	ply1sclid 22278	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
24	4, 5, 23	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
25	24	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
26	6, 7, 8	ply1sclid 22278	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
27	4, 12, 26	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
28	27	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
29	22, 25, 28	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐸 = 𝐹)
30		fveq2 6831	. . 3 ⊢ (𝐸 = 𝐹 → (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹))
31	30	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 = 𝐹) → (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹))
32	29, 31	impbida 807	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹) ↔ 𝐸 = 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ‘cfv 6489  0cc0 11033  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  Ringcrg 20209  algSccascl 21831  Poly₁cpl1 22166  coe₁cco1 22167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-srg 20163  df-ring 20211  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-ascl 21834  df-psr 21888  df-mvr 21889  df-mpl 21890  df-opsr 21892  df-psr1 22169  df-vr1 22170  df-ply1 22171  df-coe1 22172

This theorem is referenced by:  ply1chr  22296