Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1scleq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1scleq 32145
Description: Equality of a constant polynomial is the same as equality of the constant term. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scleq.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1scleq.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1scleq.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scleq.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1scleq.e (𝜑𝐸𝐵)
ply1scleq.f (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
ply1scleq (𝜑 → ((𝐴𝐸) = (𝐴𝐹) ↔ 𝐸 = 𝐹))

Proof of Theorem ply1scleq
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6839 . . . . 5 (𝑑 = 0 → ((coe1‘(𝐴𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴𝐸))‘0))
2 fveq2 6839 . . . . 5 (𝑑 = 0 → ((coe1‘(𝐴𝐹))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘0))
31, 2eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑑 = 0 → (((coe1‘(𝐴𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘𝑑) ↔ ((coe1‘(𝐴𝐸))‘0) = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘0)))
4 ply1scleq.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 ply1scleq.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝐵)
6 ply1scleq.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
7 ply1scleq.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8 ply1scleq.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
106, 7, 8, 9ply1sclcl 21641 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝐵) → (𝐴𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
114, 5, 10syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
12 ply1scleq.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
136, 7, 8, 9ply1sclcl 21641 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐴𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
144, 12, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
15 eqid 2736 . . . . . . 7 (coe1‘(𝐴𝐸)) = (coe1‘(𝐴𝐸))
16 eqid 2736 . . . . . . 7 (coe1‘(𝐴𝐹)) = (coe1‘(𝐴𝐹))
176, 9, 15, 16ply1coe1eq 21653 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴𝐸) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐴𝐹) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘𝑑) ↔ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)))
184, 11, 14, 17syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘𝑑) ↔ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)))
1918biimpar 478 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)) → ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘𝑑))
20 0nn0 12424 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)) → 0 ∈ ℕ0)
223, 19, 21rspcdva 3580 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)) → ((coe1‘(𝐴𝐸))‘0) = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘0))
236, 7, 8ply1sclid 21643 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝐵) → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴𝐸))‘0))
244, 5, 23syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐸 = ((coe1‘(𝐴𝐸))‘0))
2524adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)) → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴𝐸))‘0))
266, 7, 8ply1sclid 21643 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘0))
274, 12, 26syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐹 = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘0))
2827adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴𝐹))‘0))
2922, 25, 283eqtr4d 2786 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹)) → 𝐸 = 𝐹)
30 fveq2 6839 . . 3 (𝐸 = 𝐹 → (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹))
3130adantl 482 . 2 ((𝜑𝐸 = 𝐹) → (𝐴𝐸) = (𝐴𝐹))
3229, 31impbida 799 1 (𝜑 → ((𝐴𝐸) = (𝐴𝐹) ↔ 𝐸 = 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  cfv 6493  0cc0 11047  0cn0 12409  Basecbs 17075  Ringcrg 19950  algSccascl 21243  Poly1cpl1 21532  coe1cco1 21533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-hash 14223  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-tset 17144  df-ple 17145  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-mhm 18593  df-submnd 18594  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-mulg 18864  df-subg 18916  df-ghm 18997  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-abl 19556  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-srg 19909  df-ring 19952  df-subrg 20205  df-lmod 20309  df-lss 20378  df-ascl 21246  df-psr 21296  df-mvr 21297  df-mpl 21298  df-opsr 21300  df-psr1 21535  df-vr1 21536  df-ply1 21537  df-coe1 21538
This theorem is referenced by:  ply1chr  32159
  Copyright terms: Public domain W3C validator