Theorem ply1scleq 22220

Description: Equality of a constant polynomial is the same as equality of the constant term. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scleq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scleq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1scleq.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scleq.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1scleq.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
ply1scleq.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ply1scleq	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹) ↔ 𝐸 = 𝐹))

Proof of Theorem ply1scleq

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 0 → ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
2		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 0 → ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
3	1, 2	eqeq12d 2747	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 0 → (((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0)))
4		ply1scleq.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		ply1scleq.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
6		ply1scleq.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		ply1scleq.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8		ply1scleq.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	6, 7, 8, 9	ply1sclcl 22200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
11	4, 5, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃))
12		ply1scleq.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13	6, 7, 8, 9	ply1sclcl 22200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
14	4, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
15		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐴‘𝐸)) = (coe1‘(𝐴‘𝐸))
16		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘(𝐴‘𝐹)) = (coe1‘(𝐴‘𝐹))
17	6, 9, 15, 16	ply1coe1eq 22215	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐸) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)))
18	4, 11, 14, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑) ↔ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)))
19	18	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → ∀𝑑 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘𝑑) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘𝑑))
20		0nn0 12396	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 0 ∈ ℕ0)
22	3, 19, 21	rspcdva 3573	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0) = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
23	6, 7, 8	ply1sclid 22202	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
24	4, 5, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐸 = ((coe1‘(𝐴‘𝐸))‘0))
26	6, 7, 8	ply1sclid 22202	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
27	4, 12, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
28	27	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
29	22, 25, 28	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹)) → 𝐸 = 𝐹)
30		fveq2 6822	. . 3 ⊢ (𝐸 = 𝐹 → (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹))
31	30	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐸 = 𝐹) → (𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹))
32	29, 31	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐸) = (𝐴‘𝐹) ↔ 𝐸 = 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ‘cfv 6481  0cc0 11006  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120  Ringcrg 20151  algSccascl 21789  Poly₁cpl1 22089  coe₁cco1 22090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-srg 20105  df-ring 20153  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-ascl 21792  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22092  df-vr1 22093  df-ply1 22094  df-coe1 22095

This theorem is referenced by:  ply1chr  22221