Theorem deg1sclle 24825

Description: A scalar polynomial has nonpositive degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sclle.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1sclle.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1sclle.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1sclle.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1sclle	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0)

Proof of Theorem deg1sclle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sclle.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		deg1sclle.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
3		deg1sclle.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	ply1sclid 21025	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
5	4	fveq2d 6667	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐴‘((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0)))
6		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	1, 2, 3, 6	ply1sclcl 21023	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
8		deg1sclle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
9	8, 1, 6, 2	deg1le0 24824	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0 ↔ (𝐴‘𝐹) = (𝐴‘((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))))
10	7, 9	syldan 594	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0 ↔ (𝐴‘𝐹) = (𝐴‘((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))))
11	5, 10	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  0cc0 10588   ≤ cle 10727  Basecbs 16554  Ringcrg 19378  algSccascl 20630  Poly₁cpl1 20914  coe₁cco1 20915   deg₁ cdg1 24764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-submnd 18036  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-mulg 18305  df-subg 18356  df-ghm 18436  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-cring 19381  df-subrg 19614  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-cnfld 20180  df-ascl 20633  df-psr 20684  df-mvr 20685  df-mpl 20686  df-opsr 20688  df-psr1 20917  df-vr1 20918  df-ply1 20919  df-coe1 20920  df-mdeg 24765  df-deg1 24766

This theorem is referenced by:  deg1scl  24826  ply1remlem  24875  idomrootle  40547