Theorem deg1sclle 26284

Description: A scalar polynomial has nonpositive degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sclle.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1sclle.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1sclle.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1sclle.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1sclle	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0)

Proof of Theorem deg1sclle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sclle.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		deg1sclle.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
3		deg1sclle.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	ply1sclid 22464	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → 𝐹 = ((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))
5	4	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) = (𝐴‘((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0)))
6		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	1, 2, 3, 6	ply1sclcl 22462	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
8		deg1sclle.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
9	8, 1, 6, 2	deg1le0 26283	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0 ↔ (𝐴‘𝐹) = (𝐴‘((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))))
10	7, 9	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0 ↔ (𝐴‘𝐹) = (𝐴‘((coe1‘(𝐴‘𝐹))‘0))))
11	5, 10	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐷‘(𝐴‘𝐹)) ≤ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5112  ‘cfv 6540  0cc0 11110   ≤ cle 11254  Basecbs 17279  Ringcrg 20325  algSccascl 22017  Poly₁cpl1 22352  coe₁cco1 22353  deg₁cdg1 26226

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-sup 9404  df-oi 9474  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-seq 14049  df-hash 14378  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-mulr 17334  df-starv 17335  df-sca 17336  df-vsca 17337  df-ip 17338  df-tset 17339  df-ple 17340  df-ds 17342  df-unif 17343  df-hom 17344  df-cco 17345  df-0g 17504  df-gsum 17505  df-prds 17510  df-pws 17512  df-mre 17648  df-mrc 17649  df-acs 17651  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-mhm 18851  df-submnd 18852  df-grp 19013  df-minusg 19014  df-sbg 19015  df-mulg 19144  df-subg 19199  df-ghm 19294  df-cntz 19397  df-cmn 19862  df-abl 19863  df-mgp 20227  df-rng 20241  df-ur 20274  df-ring 20327  df-cring 20328  df-subrng 20660  df-subrg 20684  df-lmod 20998  df-lss 21068  df-cnfld 21538  df-ascl 22020  df-psr 22074  df-mvr 22075  df-mpl 22076  df-opsr 22078  df-psr1 22355  df-vr1 22356  df-ply1 22357  df-coe1 22358  df-mdeg 26227  df-deg1 26228

This theorem is used by:  deg1scl  26285  ply1remlem  26337  idomrootle  26345  vietadeg1  33981  rtelextdg2lem  34129  aks6d1c5lem3  42936  aks6d1c6lem1  42969