Theorem pmat1ovd 22520

Description: Entries of the identity polynomial matrix over a ring, deduction form. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatring.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pmatring.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmat0op.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
pmat1op.o	⊢ 1 = (1r‘𝑃)
pmat1ovd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
pmat1ovd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
pmat1ovd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
pmat1ovd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
pmat1ovd.u	⊢ 𝑈 = (1r‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
pmat1ovd	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑈𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))

Proof of Theorem pmat1ovd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmatring.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2		pmat1op.o	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑃)
3		pmat0op.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
4		pmat1ovd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
5		pmat1ovd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		pmatring.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7	6	ply1ring 22088	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
9		pmat1ovd.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
10		pmat1ovd.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
11		pmat1ovd.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (1r‘𝐶)
12	1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11	mat1ov 22271	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑈𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4520  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Fincfn 8934  0_gc0g 17383  1_rcur 20075  Ringcrg 20127  Poly₁cpl1 22018   Mat cmat 22228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-hom 17219  df-cco 17220  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-prds 17391  df-pws 17393  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-mhm 18702  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18985  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-sra 21010  df-rgmod 21011  df-dsmm 21594  df-frlm 21609  df-psr 21770  df-mpl 21772  df-opsr 21774  df-psr1 22021  df-ply1 22023  df-mamu 22207  df-mat 22229

This theorem is referenced by:  pmat1ovscd  22523  decpmatid  22593