Theorem pmat1ovscd 22522

Description: Entries of the identity polynomial matrix over a ring represented with "lifted scalars", deduction form. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmat0opsc.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pmat0opsc.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmat0opsc.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
pmat0opsc.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
pmat1opsc.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
pmat1ovscd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
pmat1ovscd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
pmat1ovscd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
pmat1ovscd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
pmat1ovscd.u	⊢ 𝑈 = (1r‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
pmat1ovscd	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑈𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (𝐴‘ 1 ), (𝐴‘ 0 )))

Proof of Theorem pmat1ovscd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmat0opsc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pmat0opsc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
5		pmat1ovscd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
6		pmat1ovscd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		pmat1ovscd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
8		pmat1ovscd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
9		pmat1ovscd.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (1r‘𝐶)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	pmat1ovd 22519	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑈𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
11		pmat0opsc.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
12		pmat1opsc.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
13	1, 11, 12, 4	ply1scl1 22135	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 1 ) = (1r‘𝑃))
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘ 1 ) = (1r‘𝑃))
15	14	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) = (𝐴‘ 1 ))
16		pmat0opsc.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17	1, 11, 16, 3	ply1scl0 22132	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
18	6, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
19	18	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = (𝐴‘ 0 ))
20	15, 19	ifeq12d 4549	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 = 𝐽, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = if(𝐼 = 𝐽, (𝐴‘ 1 ), (𝐴‘ 0 )))
21	10, 20	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑈𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, (𝐴‘ 1 ), (𝐴‘ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ifcif 4528  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  0_gc0g 17392  1_rcur 20082  Ringcrg 20134  algSccascl 21717  Poly₁cpl1 22020   Mat cmat 22227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-dsmm 21597  df-frlm 21612  df-ascl 21720  df-psr 21772  df-mpl 21774  df-opsr 21776  df-psr1 22023  df-ply1 22025  df-mamu 22206  df-mat 22228

This theorem is referenced by:  1elcpmat  22537