Theorem mat1ov 20741

Description: Entries of an identity matrix, deduction form. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mat1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mat1ov.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mat1ov.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mat1ov.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mat1ov.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
mat1ov.u	⊢ 𝑈 = (1r‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mat1ov	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑈𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))

Proof of Theorem mat1ov

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1ov.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (1r‘𝐴)
2		mat1ov.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		mat1ov.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		mat1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		mat1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6		mat1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7	4, 5, 6	mat1 20740	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
8	2, 3, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
9	1, 8	syl5eq 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
10		eqeq12 2808	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝐼 = 𝐽))
11	10	ifbid 4403	. . 3 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))
12	11	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))
13		mat1ov.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
14		mat1ov.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
15	5	fvexi 6552	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
16	6	fvexi 6552	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
17	15, 16	ifex 4429	. . 3 ⊢ if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ V
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ V)
19	9, 12, 13, 14, 18	ovmpod 7158	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑈𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437  ifcif 4381  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ∈ cmpo 7018  Fincfn 8357  0_gc0g 16542  1_rcur 18941  Ringcrg 18987   Mat cmat 20700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-ot 4481  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-hom 16418  df-cco 16419  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-prds 16550  df-pws 16552  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-ghm 18097  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-subrg 19223  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-sra 19634  df-rgmod 19635  df-dsmm 20558  df-frlm 20573  df-mamu 20677  df-mat 20701

This theorem is referenced by:  dmatid  20788  scmatscmide  20800  ma1repveval  20864  1marepvmarrepid  20868  1marepvsma1  20876  mdet1  20894  mdetunilem8  20912  pmat1ovd  20989  mat2pmat1  21024  chpmat1dlem  21127  chpdmatlem2  21131  chpdmatlem3  21132  chpidmat  21139  1smat1  30684  matunitlindflem2  34439