Theorem mat1ov 21646

Description: Entries of an identity matrix, deduction form. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mat1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mat1ov.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mat1ov.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mat1ov.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mat1ov.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
mat1ov.u	⊢ 𝑈 = (1r‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mat1ov	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑈𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))

Proof of Theorem mat1ov

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1ov.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (1r‘𝐴)
2		mat1ov.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		mat1ov.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		mat1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		mat1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6		mat1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7	4, 5, 6	mat1 21645	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
8	2, 3, 7	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
9	1, 8	eqtrid 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
10		eqeq12 2753	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝐼 = 𝐽))
11	10	ifbid 4488	. . 3 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))
12	11	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))
13		mat1ov.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
14		mat1ov.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
15	5	fvexi 6818	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
16	6	fvexi 6818	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
17	15, 16	ifex 4515	. . 3 ⊢ if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ V
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ V)
19	9, 12, 13, 14, 18	ovmpod 7457	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑈𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437  ifcif 4465  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307   ∈ cmpo 7309  Fincfn 8764  0_gc0g 17199  1_rcur 19786  Ringcrg 19832   Mat cmat 21603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-ot 4574  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9177  df-sup 9249  df-oi 9317  df-card 9745  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-dec 12488  df-uz 12633  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-seq 13772  df-hash 14095  df-struct 16897  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-mulr 17025  df-sca 17027  df-vsca 17028  df-ip 17029  df-tset 17030  df-ple 17031  df-ds 17033  df-hom 17035  df-cco 17036  df-0g 17201  df-gsum 17202  df-prds 17207  df-pws 17209  df-mre 17344  df-mrc 17345  df-acs 17347  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-mhm 18479  df-submnd 18480  df-grp 18629  df-minusg 18630  df-sbg 18631  df-mulg 18750  df-subg 18801  df-ghm 18881  df-cntz 18972  df-cmn 19437  df-abl 19438  df-mgp 19770  df-ur 19787  df-ring 19834  df-subrg 20071  df-lmod 20174  df-lss 20243  df-sra 20483  df-rgmod 20484  df-dsmm 20988  df-frlm 21003  df-mamu 21582  df-mat 21604

This theorem is referenced by:  dmatid  21693  scmatscmide  21705  ma1repveval  21769  1marepvmarrepid  21773  1marepvsma1  21781  mdet1  21799  mdetunilem8  21817  pmat1ovd  21895  mat2pmat1  21930  chpmat1dlem  22033  chpdmatlem2  22037  chpdmatlem3  22038  chpidmat  22045  1smat1  31803  matunitlindflem2  35822