Theorem mat1ov 22488

Description: Entries of an identity matrix, deduction form. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mat1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mat1ov.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mat1ov.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mat1ov.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mat1ov.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
mat1ov.u	⊢ 𝑈 = (1r‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mat1ov	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑈𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))

Proof of Theorem mat1ov

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1ov.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (1r‘𝐴)
2		mat1ov.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		mat1ov.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		mat1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		mat1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6		mat1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7	4, 5, 6	mat1 22487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
8	2, 3, 7	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
9	1, 8	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
10		eqeq12 2778	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝐼 = 𝐽))
11	10	ifbid 4503	. . 3 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))
12	11	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))
13		mat1ov.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
14		mat1ov.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
15	5	fvexi 6877	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
16	6	fvexi 6877	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
17	15, 16	ifex 4530	. . 3 ⊢ if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ V
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ V)
19	9, 12, 13, 14, 18	ovmpod 7544	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑈𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ifcif 4479  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394  Fincfn 8923  0_gc0g 17451  1_rcur 20210  Ringcrg 20262   Mat cmat 22447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-sup 9385  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-hash 14341  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-prds 17459  df-pws 17461  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-mulg 19093  df-subg 19148  df-ghm 19237  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-subrg 20599  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-dsmm 21764  df-frlm 21779  df-mamu 22431  df-mat 22448

This theorem is referenced by:  dmatid  22535  scmatscmide  22547  ma1repveval  22611  1marepvmarrepid  22615  1marepvsma1  22623  mdet1  22641  mdetunilem8  22659  pmat1ovd  22737  mat2pmat1  22772  chpmat1dlem  22875  chpdmatlem2  22879  chpdmatlem3  22880  chpidmat  22887  1smat1  34062  matunitlindflem2  38080