Theorem mat1ov 22676

Description: Entries of an identity matrix, deduction form. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mat1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mat1ov.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mat1ov.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mat1ov.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mat1ov.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
mat1ov.u	⊢ 𝑈 = (1r‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mat1ov	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑈𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))

Proof of Theorem mat1ov

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1ov.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (1r‘𝐴)
2		mat1ov.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		mat1ov.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		mat1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		mat1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6		mat1.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7	4, 5, 6	mat1 22675	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
8	2, 3, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
9	1, 8	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 )))
10		eqeq12 2779	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝐼 = 𝐽))
11	10	ifbid 4509	. . 3 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))
12	11	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))
13		mat1ov.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
14		mat1ov.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑁)
15	5	fvexi 6896	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
16	6	fvexi 6896	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
17	15, 16	ifex 4536	. . 3 ⊢ if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ V
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ) ∈ V)
19	9, 12, 13, 14, 18	ovmpod 7569	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑈𝐽) = if(𝐼 = 𝐽, 1 , 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ifcif 4485  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  Fincfn 8956  0_gc0g 17530  1_rcur 20326  Ringcrg 20378   Mat cmat 22635

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-subrg 20738  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-dsmm 21951  df-frlm 21966  df-mamu 22619  df-mat 22636

This theorem is used by:  dmatid  22723  scmatscmide  22735  ma1repveval  22799  1marepvmarrepid  22803  1marepvsma1  22811  mdet1  22829  mdetunilem8  22847  matunitlindflem2  22908  pmat1ovd  22928  mat2pmat1  22963  chpmat1dlem  23066  chpdmatlem2  23070  chpdmatlem3  23071  chpidmat  23078  1smat1  34322