Theorem fveval1fvcl 21052

Description: The function value of the evaluation function of a polynomial is an element of the underlying ring. (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fveval1fvcl.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fveval1fvcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fveval1fvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fveval1fvcl.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
fveval1fvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
fveval1fvcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
fveval1fvcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
fveval1fvcl	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fveval1fvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2758	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
2		fveval1fvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2758	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
4		fveval1fvcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	2	fvexi 6672	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
7		fveval1fvcl.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
8		fveval1fvcl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	7, 8, 1, 2	evl1rhm 21051	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
10		fveval1fvcl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
11	10, 3	rhmf 19549	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
12	4, 9, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
13		fveval1fvcl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
14	12, 13	ffvelrnd 6843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
15	1, 2, 3, 4, 6, 14	pwselbas 16820	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀):𝐵⟶𝐵)
16		fveval1fvcl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	15, 16	ffvelrnd 6843	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑀)‘𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541   ↑_s cpws 16778  CRingccrg 19366   RingHom crh 19535  Poly₁cpl1 20901  eval₁ce1 21033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-hash 13741  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-hom 16647  df-cco 16648  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-prds 16779  df-pws 16781  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-srg 19324  df-ring 19367  df-cring 19368  df-rnghom 19538  df-subrg 19601  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lsp 19812  df-assa 20618  df-asp 20619  df-ascl 20620  df-psr 20671  df-mvr 20672  df-mpl 20673  df-opsr 20675  df-evls 20835  df-evl 20836  df-psr1 20904  df-ply1 20906  df-evl1 21035

This theorem is referenced by:  evl1gsumdlem  21075  facth1  24864